Um astrônomo deseja medir a distância entre nosso sistema solar e estrela Antares (em anos-luz), bem como a temperatura na superfície de tal estrela (em Kelvin). Em seu observatório ele obtém a sequência de valores na tabela abaixo. Para auxiliá-lo no processamento desses dados, faça o que se pede nos itens a seguir.
lccccccccc $xi$ (distância) & 691 & $3 grave4$ & 518 & 503 & 402 & $3 / 45$ & 498 & 4512 & 615 $yi$ (temperatura) & 3890 & 3763 & 3499 & 3510 & 3600 & 3546 & 3604 & 3691 & 3361 (distância) 691 518 503 402 498 4512 615
(temperatura) 3890 3763 3499 3510 3600 3546 3604 3691 3361
Calcule os quartis das observações da distância e monte um box-plot. Utilizando o critério do box-plot, justifique se há alguma observação discrepante nessa serie de dados.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular os quartis das observações de distância entre o nosso sistema solar e a estrela Antares, além de montar um box-plot para identificar possíveis valores discrepantes. Para isso, vamos precisar trabalhar com estatística descritiva, especificamente com quartis e box-plot. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados de distância em ordem crescente. Isso facilita o cálculo dos quartis. Os valores fornecidos são:
xi = 691, 3grave4, 518, 503, 402, 3/45, 498, 4512, 615
Parece que houve um pequeno erro na representação dos números. Vamos interpretar 3grave4 como 34 e 3/45 como 3,45 para manter a consistência das unidades de distância em anos-luz. Assim, temos:
xi = 691, 34, 518, 503, 402, 3.45, 498, 4512, 615
Agora, organizando em ordem crescente:
xi = 3.45, 34, 402, 498, 503, 518, 615, 691, 4512

Passo 3

Vamos calcular os quartis dessa série de dados. Os quartis dividem os dados em quatro partes iguais:
  • Q1 (primeiro quartil): 25% dos dados abaixo.
  • Mediana (Q2): 50% dos dados abaixo.
  • Q3 (terceiro quartil): 75% dos dados abaixo.
Como temos 9 dados, a posição dos quartis é:
  • Q1: posição $ \frac{1}{4} \times (9 + 1) = 2.5 $
  • Mediana (Q2): posição $ \frac{2}{4} \times (9 + 1) = 5 $
  • Q3: posição $ \frac{3}{4} \times (9 + 1) = 7.5 $
Agora, vamos encontrar os valores:
  • Q1: A média entre o 2º e 3º valor:
    14 times (9 + 1) = 2.5
  • Mediana (Q2): O 5º valor:
    24 times (9 + 1) = 5
  • Q3: A média entre o 7º e 8º valor:
    34 times (9 + 1) = 7.5

Passo 4

Com os quartis calculados, vamos determinar o Intervalo Interquartil (IQR), que é a diferença entre Q3 e Q1:
IQR = Q3 - Q1 = 653 - 218 = 435

Passo 5

Agora, vamos usar o critério do box-plot para identificar possíveis valores discrepantes (outliers). Segundo esse critério:
  • Limite inferior: $ Q1 - 1.5 \times IQR $
  • Limite superior: $ Q3 + 1.5 \times IQR $
Calculando:
Q1 - 1.5 times IQR
Q3 + 1.5 times IQR

Passo 6

Vamos verificar se algum dos dados de distância está fora desses limites:
xi = 3.45, 34, 402, 498, 503, 518, 615, 691, 4512
  • Limite inferior: -434.5 (Nenhum valor está abaixo disso)
  • Limite superior: 1305.5
O valor 4512 está bem acima do limite superior de 1305.5, o que indica um valor discrepante.

Passo 7

Vamos montar o box-plot com os quartis calculados:
  • Q1: 218
  • Mediana (Q2): 503
  • Q3: 653
  • Limite inferior: -434.5 (não há valores abaixo)
  • Limite superior: 1305.5
No box-plot, teremos uma “caixa” que vai de Q1 a Q3, com uma linha na mediana. As “linhas” (ou “bigodes”) se estendem até os limites inferior e superior. O valor 4512 será representado como um ponto fora dos bigodes, indicando que é um outlier.

Resposta

Após calcular os quartis e analisar o box-plot, identificamos que a observação 4512 é um valor discrepante na série de dados de distância.

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