Atençāo às instruçōes:
- Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais o ponto ( . ), assim, por exemplo, valor
;
- As respostas devem ser dadas sempre nas unidades no SI (kg, m, s, K, etc). Não esqueça de indicar as unidades em sua resposta (à direita do valor numérico).
Enunciado:
As estrelas podem ter as mais diversas cores, que estāo associadas a sua temperatura superficial. Para classificar as estrelas em termos de suas temperaturas, usamos as letras:
e
, que correspondem a diferentes faixas de temperatura. Por exemplo, estrelas da classe F têm temperaturas entre 6000 K e 7500 K e cor amarelo-branca. Sobre a relação entre cor e temperatura de estrelas, responda aos itens a seguir:
a)Considerando que a emissão de energia das estrelas seja aproximadamente como de corpos negros. Qual é o temperatura de uma estrela da classe
cujo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral da radiação térmica é de 469 nm ?
b) Qual é o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral térmica de uma estrela de classe K (cor laranja) cuja temperatura superficial é de 4395 K ?
c) Quantas vezes a irradiância (potência irradiada por unidade de área) da estrela do item a é maior que da estrela do item b ?
a)Considerando que a emissão de energia das estrelas seja aproximadamente como de corpos negros. Qual é o temperatura de uma estrela da classe
b) Qual é o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral térmica de uma estrela de classe K (cor laranja) cuja temperatura superficial é de 4395 K ?
c) Quantas vezes a irradiância (potência irradiada por unidade de área) da estrela do item a é maior que da estrela do item b ?
Passo 1
O enunciado faz três perguntas e fornece estas informações relevantes:
- (a) Pede a temperatura de uma estrela da classe
cuja onda de máximo da distribuição espectral é . - (b) Pede o comprimento de onda de máximo
de uma estrela da classe cuja temperatura superficial é . - (c) Pede a razão entre as irradiâncias (potência por unidade de área, ou exitância superficial) da estrela do item (a) e da estrela do item (b).
Dados numéricos dados explicitamente no enunciado:
Além disso, foi dito que podemos tratar as estrelas como corpos negros (aproximação de corpo negro).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar para (a) e (b): Lei do deslocamento de Wien. Ela relaciona a temperatura de um corpo negro
com o comprimento de onda do máximo de emissão
por:
onde
é a constante de Wien. O valor da constante de Wien em unidades SI é
Explicando as variáveis:
-
é o comprimento de onda (em metros) onde a emissão espectral atinge o máximo. -
é a temperatura absoluta (em kelvin).
A partir dessa relação podemos obterse conhecemos ou se conhecemos :
Passo 3
Resolvendo o item (a): encontrar
para
.
- Converter para metros:
- Aplicar a Lei de Wien:
- Fazer a divisão passo a passo (organizando potências de 10):
Calculando a razão
por aproximação manual obtemos aproximadamente
. Multiplicando por
dá:
Arredondando para a unidade inteira (temperatura normalmente dada em kelvin inteiros):
Observação didática rápida: este valor está dentro da faixa típica da classe
(6000 K a 7500 K), o que faz sentido físico.
Passo 4
Resolvendo o item (b): encontrar
para
.
- Aplicar a Lei de Wien na forma
:
- Calcular a divisão:
- Interpretando em unidades mais usuais de comprimento de onda (apenas para intuição):
.
Mas lembrando a exigência: a resposta em SI é em metros, então o valor que vamos registrar é em metros.
Passo 5
Conceito e fórmula que vamos usar para o item (c): Lei de Stefan–Boltzmann para irradiância/exitância superficial de um corpo negro. A potência radiada por unidade de área (irradiância na superfície) é
onde:
-
é a irradiância (exitância) na superfície em , -
é a constante de Stefan–Boltzmann com valor , -
é a temperatura em kelvin.
Para a razão entre as irradiâncias de duas estrelas
(item a) e
(item b):
Note que a constante
cancela — ótimo, assim só precisamos das temperaturas.
Passo 6
Aplicando ao caso concreto usando os
que encontramos:
Calcular a razão:
Agora elevar à quarta potência. Um jeito prático sem calculadora é fazer dois quadrados:
Portanto a irradiância da estrela do item (a) é aproximadamente
vezes a irradiância da estrela do item (b).
Comentário motivador: ou seja, mesmo uma diferença de temperatura de ~40% produz uma diferença de potência por unidade de área bem maior (quase 4 vezes) por causa do fator
— por isso a temperatura é uma grande alavanca na emissão térmica.