Atençāo às instruçōes:
  • Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais o ponto ( . ), assim, por exemplo, valor 3.45 \times 10^{-5}=3.45 E-5;
  • As respostas devem ser dadas sempre nas unidades no SI (kg, m, s, K, etc). Não esqueça de indicar as unidades em sua resposta (à direita do valor numérico).
Enunciado:
As estrelas podem ter as mais diversas cores, que estāo associadas a sua temperatura superficial. Para classificar as estrelas em termos de suas temperaturas, usamos as letras: O, B, A, F, G, K, M, R, N e S, que correspondem a diferentes faixas de temperatura. Por exemplo, estrelas da classe F têm temperaturas entre 6000 K e 7500 K e cor amarelo-branca. Sobre a relação entre cor e temperatura de estrelas, responda aos itens a seguir:
a)Considerando que a emissão de energia das estrelas seja aproximadamente como de corpos negros. Qual é o temperatura de uma estrela da classe F cujo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral da radiação térmica é de 469 nm ?
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b) Qual é o comprimento de onda do máximo da distribuição espectral térmica de uma estrela de classe K (cor laranja) cuja temperatura superficial é de 4395 K ?
\square
c) Quantas vezes a irradiância (potência irradiada por unidade de área) da estrela do item a é maior que da estrela do item b ?
\square

Passo 1

O enunciado faz três perguntas e fornece estas informações relevantes:
  1. (a) Pede a temperatura de uma estrela da classe F cuja onda de máximo da distribuição espectral é \lambda_{\max}=469\\ \text{nm}.
  2. (b) Pede o comprimento de onda de máximo \lambda_{\max} de uma estrela da classe K cuja temperatura superficial é T=4395\\ \text{K}.
  3. (c) Pede a razão entre as irradiâncias (potência por unidade de área, ou exitância superficial) da estrela do item (a) e da estrela do item (b).
Dados numéricos dados explicitamente no enunciado:
\lambda_{\max\,(a)} = 469\\ \text{nm} = 469\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
T_{(b)} = 4395\\ \mathrm{K}.
Além disso, foi dito que podemos tratar as estrelas como corpos negros (aproximação de corpo negro).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar para (a) e (b): Lei do deslocamento de Wien. Ela relaciona a temperatura de um corpo negro T com o comprimento de onda do máximo de emissão \lambda_{\max} por:
\lambda_{\max}\,T = b,
onde b é a constante de Wien. O valor da constante de Wien em unidades SI é
b = 2{,}8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Explicando as variáveis:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda (em metros) onde a emissão espectral atinge o máximo.
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
    A partir dessa relação podemos obter T se conhecemos \lambda_{\max} ou \lambda_{\max} se conhecemos T:
T = \frac{b}{\lambda_{\max}},\qquad \lambda_{\max} = \frac{b}{T}.

Passo 3

Resolvendo o item (a): encontrar T para \lambda_{\max}=469\\ \text{nm}.
  1. Converter para metros:
\lambda_{\max} = 469\\ \text{nm} = 469\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}69\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  1. Aplicar a Lei de Wien:
T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2{,}8977719\times10^{-3}}{4{,}69\times10^{-7}}\\ \mathrm{K}.
  1. Fazer a divisão passo a passo (organizando potências de 10):
T = \left(\frac{2{,}8977719}{4{,}69}\right)\times10^{4}\\ \mathrm{K}.
Calculando a razão 2{,}8977719/4{,}69 por aproximação manual obtemos aproximadamente 0{,}6179. Multiplicando por 10^{4} dá:
T \approx 6{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{K}.
Arredondando para a unidade inteira (temperatura normalmente dada em kelvin inteiros):
T_{(a)} \approx 6176\\ \mathrm{K}.
Observação didática rápida: este valor está dentro da faixa típica da classe F (6000 K a 7500 K), o que faz sentido físico.

Passo 4

Resolvendo o item (b): encontrar \lambda_{\max} para T=4395\\ \mathrm{K}.
  1. Aplicar a Lei de Wien na forma \lambda_{\max} = b/T:
\lambda_{\max} = \frac{2{,}8977719\times10^{-3}}{4395}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular a divisão:
\lambda_{\max} \approx 6{,}5948\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  1. Interpretando em unidades mais usuais de comprimento de onda (apenas para intuição): 6{,}5948\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 659{,}48\\ \text{nm}.
    Mas lembrando a exigência: a resposta em SI é em metros, então o valor que vamos registrar é em metros.

Passo 5

Conceito e fórmula que vamos usar para o item (c): Lei de Stefan–Boltzmann para irradiância/exitância superficial de um corpo negro. A potência radiada por unidade de área (irradiância na superfície) é
M = \sigma T^{4},
onde:
  • M é a irradiância (exitância) na superfície em \mathrm{W\cdot m^{-2}},
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann com valor \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}},
  • T é a temperatura em kelvin.
Para a razão entre as irradiâncias de duas estrelas A (item a) e B (item b):
\frac{M_{A}}{M_{B}}=\frac{\sigma T_{A}^{4}}{\sigma T_{B}^{4}}=\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{4}.
Note que a constante \sigma cancela — ótimo, assim só precisamos das temperaturas.

Passo 6

Aplicando ao caso concreto usando os T que encontramos:
T_{A} = 6176\\ \mathrm{K},\qquad T_{B} = 4395\\ \mathrm{K}.
Calcular a razão:
r = \frac{T_{A}}{T_{B}} = \frac{6176}{4395} \approx 1{,}40591.
Agora elevar à quarta potência. Um jeito prático sem calculadora é fazer dois quadrados:
r^{2} \approx 1{,}40591^{2} \approx 1{,}97658,
r^{4} = \left(r^{2}\right)^{2} \approx 1{,}97658^{2} \approx 3{,}9069.
Portanto a irradiância da estrela do item (a) é aproximadamente 3{,}91 vezes a irradiância da estrela do item (b).
Comentário motivador: ou seja, mesmo uma diferença de temperatura de ~40% produz uma diferença de potência por unidade de área bem maior (quase 4 vezes) por causa do fator T^{4} — por isso a temperatura é uma grande alavanca na emissão térmica.

Resposta

T_{(a)} \approx 6{,}176\times10^{3}\\ \mathrm{K}
\lambda_{\max\,(b)} \approx 6{,}5948\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
\dfrac{M_{(a)}}{M_{(b)}} \approx 3{,}91

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