A 1 atm e 30^{\circ} \mathrm{C}, os volumes molares de misturas líquidas benzeno(1)/ciclohexano(2) são representados pela equação:
\underline{V}\left(\mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}\right)=109,4-16,8 x_{1}-2,64 x_{1}^{2}
a) Obtenha as expressões para os volumes molares parciais do benzeno e do ciclohexano.
b) Usando as equações anteriores, determine os volumes molares parciais de benzeno e ciclo-hexano à diluição infinita.

Passo 1

O enunciado fornece o volume molar da mistura líquida benzeno (1) / ciclohexano (2) à 1 atm e 30\circC como função da fração molar de benzeno x_1:
\underline{V}(x_1)=109,4-16,8\,x_1-2,64\,x_1^2
Precisamos obter (a) as expressões dos volumes molares parciais \bar V_1 e \bar V_2; e (b) seus valores à diluição infinita (isto é, \bar V_1 em x_1\to0 e \bar V_2 em x_1\to1).

Passo 2

Calculamos a derivada de \underline{V} em relação a x_1, pois ela entra nas fórmulas dos volumes molares parciais:
\frac{d\underline{V}}{dx_1} =-16,8 -2\cdot2,64\,x_1 =-16,8 -5,28\,x_1

Passo 3

Em uma mistura binária alinhada em x_1, as expressões teóricas dos volumes molares parciais são
\bar V_1 =\underline{V} + (1-x_1)\,\frac{d\underline{V}}{dx_1},
\bar V_2 =\underline{V} - x_1\,\frac{d\underline{V}}{dx_1}.

Passo 4

Substituindo \underline{V}(x_1) e \tfrac{d\underline{V}}{dx_1} e simplificando, obtemos:
\bar V_1 =109,4-16,8x_1-2,64x_1^2 +(1-x_1)\,( -16,8 -5,28x_1) =92,6 -5,28\,x_1 +2,64\,x_1^2 \quad(\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}),
\bar V_2 =109,4-16,8x_1-2,64x_1^2 - x_1\,(-16,8 -5,28x_1) =109,4 +2,64\,x_1^2 \quad(\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}).

Passo 5

Para diluição infinita, avalia-se \bar V_1 em x_1\to0 (benzeno muito diluído em ciclohexano) e \bar V_2 em x_1\to1 (ciclohexano muito diluído em benzeno).

Passo 6

Calculando os limites:
\bar V_1^\infty =\bar V_1(x_1=0) =92,6 -5,28\cdot0 +2,64\cdot0^2 =92,6\quad(\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}),
\bar V_2^\infty =\bar V_2(x_1=1) =109,4 +2,64\cdot1^2 =112,04\quad(\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}).

Resposta

As expressões dos volumes molares parciais são \displaystyle \bar V_1=92,6 -5,28\,x_1 +2,64\,x_1^2 e \displaystyle \bar V_2=109,4 +2,64\,x_1^2 (em \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}).
Os volumes molares parciais à diluição infinita são \bar V_1^\infty=92,6\;\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1} e \bar V_2^\infty=112,04\;\mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.

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