A energia interna, em \mathrm{J} / \mathrm{mol}, de uma solução líquida binária, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar , é representada pela equação:
\underline{U}=150 x_{1}+225 x_{2}+\left(15 x_{1}+7,5 x_{2}\right) x_{1} x_{2}
Determine:
a) As expressões para \bar{U}_{1} e \bar{U}_{2} em termos de x_{1}.
b) Os valores numéricos das energias internas dos componentes puros \bar{U}_{1} e \bar{U}_{2}.
c) Os valores numéricos das energias internas parciais molares à diluição infinita \bar{U}_{1}^{\infty} e \bar{U}_{2}^{\infty}.

Passo 1

O enunciado fornece a energia interna molar de uma solução binária a 25^\circ\mathrm C e 1 bar
\underline{U}(x_{1},x_{2})=150\,x_{1}+225\,x_{2}+\bigl(15\,x_{1}+7{,}5\,x_{2}\bigr)x_{1}x_{2}
com x_{2}=1-x_{1}. Vamos determinar as parcelas molares parciais \bar U_{1} e \bar U_{2} em função de x_{1}, depois os valores em estado puro e, por fim, as parcelas molares ao limite de diluição infinita.

Passo 2

Expressamos \underline{U} como função única de x_{1} usando x_{2}=1-x_{1}. Denotando
M(x_{1})=\underline{U}(x_{1},1-x_{1}),
temos
M(x_{1})=150\,x_{1}+225\,(1-x_{1})+\bigl(15\,x_{1}+7{,}5\,(1-x_{1})\bigr)x_{1}(1-x_{1}).
Simplificando o termo misto:
15\,x_{1}+7{,}5\,(1-x_{1})=7{,}5\,x_{1}+7{,}5,
M(x_{1})=225-75\,x_{1}+7{,}5\,(x_{1}-x_{1}^{3}).

Passo 3

Calculamos a derivada dM/dx_{1}:
\frac{dM}{dx_{1}} =-75+7{,}5\,(1-3x_{1}^{2}) =-75+7{,}5-22{,}5\,x_{1}^{2} =-67{,}5-22{,}5\,x_{1}^{2}.

Passo 4

Usamos as relações gerais para propriedade molar M:
\bar U_{1}=M+x_{2}\frac{dM}{dx_{1}}, \qquad \bar U_{2}=M - x_{1}\frac{dM}{dx_{1}}, \qquad x_{2}=1-x_{1}.

Passo 5

Substituindo M e dM/dx_{1} e simplificando, obtemos
\bar U_{1}(x_{1}) =157{,}5 -22{,}5\,x_{1}^{2}+15\,x_{1}^{3},
\bar U_{2}(x_{1}) =225 +15\,x_{1}^{3}.

Passo 6

Em estado puro de cada componente:
para o componente 1 x_{1}=1,
\bar U_{1}(1)=150\\ \mathrm{J/mol},
para o componente 2 x_{1}=0,
\bar U_{2}(0)=225\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 7

Nas diluições infinitas:
\bar U_{1}^{\infty}=\lim_{x_{1}\to0}\bar U_{1}(x_{1}) =157{,}5\\ \mathrm{J/mol},
\bar U_{2}^{\infty}=\lim_{x_{1}\to1}\bar U_{2}(x_{1}) =240\\ \mathrm{J/mol}.

Resposta

(a) \displaystyle \bar U_{1}(x_{1})=157{,}5 -22{,}5\,x_{1}^{2}+15\,x_{1}^{3},\quad \bar U_{2}(x_{1})=225 +15\,x_{1}^{3}.
(b) \bar U_{1}(1)=150\\ \mathrm{J/mol},\quad \bar U_{2}(0)=225\\ \mathrm{J/mol}.
(c) \bar U_{1}^{\infty}=157{,}5\\ \mathrm{J/mol},\quad \bar U_{2}^{\infty}=240\\ \mathrm{J/mol}.

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