Problema 2. Um recipiente de 2 litros contém gás hidrogênio \left(\mathrm{H}_{2}\right) à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1,5 \mathrm{~atm}. O Gás sofre os seguintes processos: (i)Compressão adiabática, reduzindo o volume a metade; (ii) Resfriado isocoricamente até retornar à pressão inicial; (iii) Por fim, o gás retorna a posição inicial por uma expansão isobárica. (a) Represente o processo num diagrama Pressão X Volume, indicando a pressão em atm, o volume em litros e a temperatura em Kelvin. (b) Calcule o trabalho em cada trecho; (c) Calcule a variação de energia interna em cada trecho; (d) Calcule a quantidade de calor em cada trecho. ADOTE: \gamma=7 / 5
OBS: A questão acima vale 4 pontos. Cada item vale 1 ponto

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo com gás hidrogênio ideal num recipiente de V_{1}=2{,}0 L, P_{1}=1{,}5 atm e T_{1}=27^\circC =300 K. Os processos são:
(i) Compressão adiabática até V_{2}=V_{1}/2;
(ii) Resfriamento isocórico até P_{3}=P_{1};
(iii) Expansão isobárica de volta ao ponto inicial.
O conteúdo envolve equação de estado dos gases ideais, leis do processo adiabático, isocórico e isobárico, e a primeira lei da termodinâmica para calcular trabalho W, variação de energia interna \Delta U e calor Q.

Passo 2

Calcular número de mols e variáveis de estado nos três pontos: \displaystyle n=\frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}}=\frac{1{,}5\cdot2{,}0}{0{,}08206\cdot300}\approx0{,}122 mol.
Para o adiabático ( \gamma=7/5, V_{2}=1{,}0 L):
P_{2}=P_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma} =1{,}5\cdot2^{1{,}4}\approx3{,}96\text{ atm}, \quad T_{2}=T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1} =300\cdot2^{0{,}4}\approx396\text{ K}.
No resfriamento isocórico ( V_{3}=V_{2}, P_{3}=1{,}5 atm):
T_{3}=\frac{P_{3}V_{3}}{nR} =\frac{1{,}5\cdot1{,}0}{0{,}122\cdot0{,}08206}\approx150\text{ K}.
O gás volta ao estado inicial via isobárico ( P=1{,}5 atm, V\!:1\to2 L).

Passo 3

Diagrama P\times V:
– Ponto 1: (V_{1}=2,0\text{ L},\,P_{1}=1,5\text{ atm},\,T_{1}=300\text{ K}).
– Traço 1\to 2: curva adiabática até ponto 2: (1,0\text{ L},\,3,96\text{ atm},\,396\text{ K}).
– Traço 2\to 3: reta vertical (isochoric) até (1,0\text{ L},\,1,5\text{ atm},\,150\text{ K}).
– Traço 3\to 1: reta horizontal (isobárico) de V=1 L a 2 L em P=1,5 atm.

Passo 4

Trabalho em cada trecho (em L\cdot atm):
(i) Adiabático
W_{12}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma} =\frac{3{,}96\cdot1 -1{,}5\cdot2}{1-1{,}4} =\frac{3{,}96-3{,}00}{-0{,}4} \approx-2{,}40.
(ii) Isocórico
W_{23}=0.
(iii) Isobárico
W_{31}=P_{1}(V_{1}-V_{2}) =1{,}5\,(2{,}0-1{,}0) =1{,}5.

Passo 5

Variação de energia interna \Delta U=nC_{v}\Delta T, com C_{v}=\tfrac{5}{2}R:
\Delta U_{12}=n\frac{5}{2}R\,(T_{2}-T_{1}) =0{,}122\cdot2{,}5\cdot0{,}08206\,(396-300) \approx3{,}00.
\Delta U_{23}=n\frac{5}{2}R\,(T_{3}-T_{2}) =0{,}122\cdot2{,}5\cdot0{,}08206\,(150-396) \approx-6{,}16.
\Delta U_{31}=n\frac{5}{2}R\,(T_{1}-T_{3}) =0{,}122\cdot2{,}5\cdot0{,}08206\,(300-150) \approx3{,}16.

Passo 6

Calor em cada trecho pela primeira lei Q=\Delta U+W:
Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12} =3{,}00+(-2{,}40) \approx0{,}60.
Q_{23}=\Delta U_{23}+0 \approx-6{,}16.
Q_{31}=\Delta U_{31}+W_{31} =3{,}16+1{,}50 \approx4{,}66.

Resposta

(a) Diagrama conforme descrito no Passo 3.
(b) W_{12}\approx-2{,}40 L\cdot atm, W_{23}=0, W_{31}=1{,}50 L\cdot atm.
(c) \Delta U_{12}\approx3{,}00 L\cdot atm, \Delta U_{23}\approx-6{,}16 L\cdot atm, \Delta U_{31}\approx3{,}16 L\cdot atm.
(d) Q_{12}\approx0{,}60 L\cdot atm, Q_{23}\approx-6{,}16 L\cdot atm, Q_{31}\approx4{,}66 L\cdot atm.

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