Para aumentar a capacidade de carga de um antigo paiol, uma viga de madeira de Eucalipto com seção de 150 \mathrm{~mm} \times 300 \mathrm{~mm} precisa ser reforçada. Você, como Engenheiro Agrícola responsável, decidiu fixar duas placas de aço, uma na face superior e outra na inferior da viga. Cada placa de aço tem 150 mm de largura e 10 mm
de espessura. Sabendo que a viga reforçada deverá suportar um momento fletor máximo de 50,00 k N \cdot m, e que os módulos de elascidade da madeira e do aço são E_{\text {mad }}=12,5 \mathrm{GPa} e E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}ç, respectivamente, calcule:
a) A tensão normal máxima na madeira ( \sigma_{\text {máx, mad }}á ).
b) A tensão normal máxima no aço ( \sigma_{\text {máx,aço }}áç ).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dimensões da viga de madeira (seção retangular):
    • largura b_{\text{mad}}=150\\ \mathrm{mm}
    • altura h_{\text{mad}}=300\\ \mathrm{mm}
  • Duas placas de aço coladas: uma superior e uma inferior
    • largura b_{\text{aço}}=150\\ \mathrm{mm}ç
    • espessura t_{\text{aço}}=10\\ \mathrm{mm}ç
  • Momento fletor máximo aplicado: M = 50{,}00\\ \mathrm{kN\cdot m}
  • Módulos de elasticidade: E_{\text{mad}} = 12{,}5\\ \mathrm{GPa},\qquad E_{\text{aço}} = 200\\ \mathrm{GPa}.ç
  • O enunciado pede:
    (a) a tensão normal máxima na madeira, \sigma_{\text{máx, mad}}á;
    (b) a tensão normal máxima no aço, \sigma_{\text{máx, aço}}áç.
Observação: as placas de aço ficam uma na face superior e outra na face inferior da viga de madeira; a montagem é simétrica verticalmente.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Para um problema de flexão em seção composta de materiais diferentes usa-se o método da seção transformada (ou razão modular). A ideia é transformar as áreas do material mais rígido em áreas equivalentes do material base (aqui escolhemos a madeira como referência), multiplicando a área do aço por n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{mad}}}.ç
  • Depois calcula-se o eixo neutro (centroide da seção transformada) e o momento de inércia transformado I_{\text{trans}} em relação a esse eixo. A curvatura \kappa é dada por \kappa=\frac{M}{E_{\text{mad}}\,I_{\text{trans}}},pois M=E_{\text{mad}} I_{\text{trans}} \kappa na seção transformada. A tensão em cada material é \sigma_{\text{mad}}(y)=E_{\text{mad}}\kappa y=\frac{M\,y}{I_{\text{trans}}},
\sigma_{\text{aço}}(y)=E_{\text{aço}}\kappa y=n\frac{M\,y}{I_{\text{trans}}},çç
onde y é a distância do eixo neutro até a fibra considerada (positivo para cima, negativo para baixo). Então basta achar I_{\text{trans}} e avaliar nas fibras extremas.

Passo 3

Cálculo da razão modular n e áreas:
  • Converter E não é necessário porque n é razão; porém para contexto: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm^2}.
    Calculemos n:
    n=\frac{E_{\text{aço}}}{E_{\text{mad}}}=\frac{200}{12{,}5}=16.ç
  • Áreas (em \mathrm{mm^2}):
    A_{\text{mad}}=b_{\text{mad}}\,h_{\text{mad}}=150\cdot300=45\,000\\ \mathrm{mm^2}.
A_{\text{aço}}=b_{\text{aço}}\,t_{\text{aço}}=150\cdot10=1\,500\\ \mathrm{mm^2}.ççç

Passo 4

Posição do eixo neutro (centroide da seção transformada):
  • Adote o centro da madeira (meio da altura) como referência y=0. A madeira ocupa de y=-150\\ \mathrm{mm} até y=+150\\ \mathrm{mm}.
  • As placas de aço têm centroides localizados em y_{\text{top}}=150+\frac{10}{2}=155\\ \mathrm{mm},\qquad y_{\text{bot}}=-155\\ \mathrm{mm}.
  • No método transformado a área efetiva de cada placa é nA_{\text{aço}}=16\cdot1500=24\,000\\ \mathrm{mm^2}ç.
  • O centroide da seção transformada é \bar{y}=\frac{1\cdot A_{\text{mad}}\cdot 0 + nA_{\text{aço}}\,y_{\text{top}} + nA_{\text{aço}}\,y_{\text{bot}}}{1\cdot A_{\text{mad}} + 2nA_{\text{aço}}}.çççComo y_{\text{top}}=+155 e y_{\text{bot}}=-155 e as áreas transformadas são iguais, os termos se cancelam, então \bar{y}=0.
  • Conclusão: por simetria, o eixo neutro coincide com o centro geométrico da madeira ( y=0).

Passo 5

Momento de inércia transformado I_{\text{trans}} (em \mathrm{mm^4}):
  • Momento de inércia da madeira (retângulo) em torno do seu centro: I_{\text{mad}}=\frac{b_{\text{mad}}\,h_{\text{mad}}^{3}}{12}=\frac{150\cdot300^{3}}{12}.Calcule: 300^{3}=27\,000\,000,\quad 150\cdot27\,000\,000=4\,050\,000\,000,
I_{\text{mad}}=\frac{4\,050\,000\,000}{12}=337\,500\,000\\ \mathrm{mm^4}.
  • Momento de inércia de uma placa de aço em torno de seu próprio centro (eixo horizontal):
    I_{\text{placa}}=\frac{b_{\text{aço}}\,t_{\text{aço}}^{3}}{12}=\frac{150\cdot10^{3}}{12}=\frac{150\cdot1000}{12}=12\,500\\ \mathrm{mm^4}.çç
  • Paralelo (transferir placa até o eixo neutro): a distância do centro da placa ao eixo neutro é d=155\\ \mathrm{mm}. Então o termo de eixo paralelo para cada placa é
    A_{\text{aço}}\,d^{2}=1\,500\cdot155^{2}=1\,500\cdot24\,025=36\,037\,500\\ \mathrm{mm^4}.ç
  • Transformando para madeira (multiplicar por n) e somando para as duas placas:
    \text{contribuição de cada placa (transformada)}=n\left(I_{\text{placa}}+A_{\text{aço}}\,d^{2}\right)çãç
=16\left(12\,500 + 36\,037\,500\right)=16\cdot36\,050\,000=576\,800\,000\\ \mathrm{mm^4}.
Para as duas placas:
2\cdot576\,800\,000=1\,153\,600\,000\\ \mathrm{mm^4}.
  • Soma total: I_{\text{trans}}=I_{\text{mad}} + 2\cdot n\left(I_{\text{placa}}+A_{\text{aço}}d^{2}\right)ç
I_{\text{trans}}=337\,500\,000 + 1\,153\,600\,000 = 1\,491\,100\,000\\ \mathrm{mm^4}.

Passo 6

Expressão da curvatura e preparação para calcular tensões:
  • Converter o momento M para \mathrm{N\cdot mm}: M = 50{,}00\\ \mathrm{kN\cdot m}=50{,}00\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}=50\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • Curvatura: \kappa=\frac{M}{E_{\text{mad}}\,I_{\text{trans}}}.Não precisamos calcular \kappa explicitamente se usamos a forma direta das tensões abaixo.

Passo 7

Cálculo da tensão máxima na madeira:
  • Fórmula (explicada): a tensão normal em madeira a uma distância y do eixo neutro (usando a madeira como referência) é
    \sigma_{\text{mad}}(y)=\frac{M\,y}{I_{\text{trans}}}.
    Aqui \sigma fica em \mathrm{N/mm^{2}}=\mathrm{MPa} quando M está em \mathrm{N\cdot mm}, y em \mathrm{mm} e I em \mathrm{mm^4}.
  • Para fibra extrema da madeira y_{\text{mad}}=150\\ \mathrm{mm}:
    \sigma_{\text{máx, mad}}=\frac{M\,y_{\text{mad}}}{I_{\text{trans}}} =\frac{50\times10^{6}\cdot150}{1\,491\,100\,000}.á
    Calcule:
    \frac{50\times10^{6}\cdot150}{1\,491\,100\,000}=\frac{7{,}5\times10^{9}}{1{,}4911\times10^{9}}\approx5{,}03\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
    Ou seja,
    \sigma_{\text{máx, mad}}\approx5{,}03\\ \mathrm{MPa}.á

Passo 8

Cálculo da tensão máxima no aço:
  • Fórmula (explicada): a tensão no aço a uma distância y do eixo neutro é
    \sigma_{\text{aço}}(y)=E_{\text{aço}}\kappa y = n\frac{M\,y}{I_{\text{trans}}},çç
    com n=E_{\text{aço}}/E_{\text{mad}}ç.
  • A fibra extrema do aço (superfície externa da placa) está a
    y_{\text{aço,ext}}=150 + 10 = 160\\ \mathrm{mm}ç
    (mesmo para cima ou para baixo, por simetria o valor absoluto é o mesmo).
  • Então
    \sigma_{\text{máx, aço}} = n\frac{M\,y_{\text{aço,ext}}}{I_{\text{trans}}} =16\cdot\frac{50\times10^{6}\cdot160}{1\,491\,100\,000}.áçç
    Calcule:
    \frac{50\times10^{6}\cdot160}{1\,491\,100\,000}=\frac{8{,}0\times10^{9}}{1{,}4911\times10^{9}}\approx5{,}367\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{\text{máx, aço}} \approx 16\cdot5{,}367 \approx85{,}87\\ \mathrm{MPa}.áç
  • Interpretação rápida: sinais opostos nas faces superior/inferior (uma fica em tração, a outra em compressão), e o valor absoluto máximo é \approx85{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_{\text{máx, mad}} \approx 5{,}03\\ \mathrm{MPa}á
\sigma_{\text{máx, aço}} \approx 85{,}87\\ \mathrm{MPa}áç

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