Para aumentar a capacidade de carga de um antigo paiol, uma viga de madeira de Eucalipto com seção de
precisa ser reforçada. Você, como Engenheiro Agrícola responsável, decidiu fixar duas placas de aço, uma na face superior e outra na inferior da viga. Cada placa de aço tem 150 mm de largura e 10 mm
de espessura. Sabendo que a viga reforçada deverá suportar um momento fletor máximo de
, e que os módulos de elascidade da madeira e do aço são
e
, respectivamente, calcule:
a) A tensão normal máxima na madeira (
).
b) A tensão normal máxima no aço (
).
de espessura. Sabendo que a viga reforçada deverá suportar um momento fletor máximo de
a) A tensão normal máxima na madeira (
b) A tensão normal máxima no aço (
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dimensões da viga de madeira (seção retangular):
- largura
- altura
- largura
- Duas placas de aço coladas: uma superior e uma inferior
- largura
- espessura
- largura
- Momento fletor máximo aplicado:
- Módulos de elasticidade:
- O enunciado pede:
(a) a tensão normal máxima na madeira,;
(b) a tensão normal máxima no aço,.
Observação: as placas de aço ficam uma na face superior e outra na face inferior da viga de madeira; a montagem é simétrica verticalmente.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
- Para um problema de flexão em seção composta de materiais diferentes usa-se o método da seção transformada (ou razão modular). A ideia é transformar as áreas do material mais rígido em áreas equivalentes do material base (aqui escolhemos a madeira como referência), multiplicando a área do aço por
- Depois calcula-se o eixo neutro (centroide da seção transformada) e o momento de inércia transformado
em relação a esse eixo. A curvatura é dada por pois na seção transformada. A tensão em cada material é
onde
é a distância do eixo neutro até a fibra considerada (positivo para cima, negativo para baixo). Então basta achar
e avaliar nas fibras extremas.
Passo 3
Cálculo da razão modular
e áreas:
-
Converter
não é necessário porque é razão; porém para contexto: .
Calculemos: -
Áreas (em
):
Passo 4
Posição do eixo neutro (centroide da seção transformada):
- Adote o centro da madeira (meio da altura) como referência
. A madeira ocupa de até . - As placas de aço têm centroides localizados em
- No método transformado a área efetiva de cada placa é
. - O centroide da seção transformada é
Como e e as áreas transformadas são iguais, os termos se cancelam, então - Conclusão: por simetria, o eixo neutro coincide com o centro geométrico da madeira (
).
Passo 5
Momento de inércia transformado
(em
):
- Momento de inércia da madeira (retângulo) em torno do seu centro:
Calcule:
-
Momento de inércia de uma placa de aço em torno de seu próprio centro (eixo horizontal):
-
Paralelo (transferir placa até o eixo neutro): a distância do centro da placa ao eixo neutro é
. Então o termo de eixo paralelo para cada placa é -
Transformando para madeira (multiplicar por
) e somando para as duas placas:
Para as duas placas:
- Soma total:
Passo 6
Expressão da curvatura e preparação para calcular tensões:
- Converter o momento
para : - Curvatura:
Não precisamos calcular explicitamente se usamos a forma direta das tensões abaixo.
Passo 7
Cálculo da tensão máxima na madeira:
-
Fórmula (explicada): a tensão normal em madeira a uma distância
do eixo neutro (usando a madeira como referência) é Aquifica em quando está em , em e em . -
Para fibra extrema da madeira
: Calcule:Ou seja,
Passo 8
Cálculo da tensão máxima no aço:
-
Fórmula (explicada): a tensão no aço a uma distância
do eixo neutro é com. -
A fibra extrema do aço (superfície externa da placa) está a(mesmo para cima ou para baixo, por simetria o valor absoluto é o mesmo).
-
EntãoCalcule:
- Interpretação rápida: sinais opostos nas faces superior/inferior (uma fica em tração, a outra em compressão), e o valor absoluto máximo é
.