10.23 Um perfil de aço laminado W200 × 31,3 é usado com o vínculo e os cabos mostrados no Problema 10.22. Sabendo que L=7,3 \mathrm{~m}, determine a força centrada \mathbf{P} admissível se for considerado um coeficiente de segurança de 2,2 . Use E=200 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado (o que foi dado e o que se pede)
  • Dado: perfil de aço \text{W}200\times31{,}3 usado com vínculos e cabos mostrados no Problema 10.22 (a figura do Problema 10.22 NÃO foi fornecida aqui).
  • Dado: L=7{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Dado: coeficiente de segurança \text{FS}=2{,}2.
  • Dado: E=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Pedido: determinar a força centrada admissível \mathbf{P} (ou seja, a carga axial admissível considerando o fator de segurança).
Observação importante (dados que faltam): o enunciado remete à figura do Problema 10.22 que contém os vínculos e a posição dos cabos. Essa figura é necessária porque ela determina condições de apoio, direção de flambagem (eixo forte ou fraco), e pontos de apoio intermediários (que alteram o comprimento efetivo de encurvadura). Sem essa figura/esses dados não é possível obter um valor numérico único para \mathbf{P}. Não vou inventar a figura; vou explicar exatamente o que falta e como proceder em prova se a figura estiver disponível.

Passo 2

Estratégia geral (o que normalmente se faz para esse tipo de problema) — ideia didática
  • Para uma peça submetida a carga axial centrada, o modo de ruptura crítico costuma ser o encurvadura (buckling), governado pela fórmula de Euler quando a peça é suficientemente esbelta. A fórmula de Euler para a carga crítica é
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
Explanação das variáveis:
  • P_{cr}: carga crítica de flambagem (N).
  • \pi: constante \approx 3{,}1416.
  • E: módulo de elasticidade do material (Pa). Aqui E=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • I: momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem considerado (m^{4}). Pode haver I_x (eixo forte) e I_y (eixo fraco); o menor P_{cr} governa.
  • L: comprimento entre pontos de apoio (m). Aqui L=7{,}3\\ \mathrm{m} é o comprimento total, mas o comprimento eficaz de flambagem pode ser diferente dependendo de onde os cabos/vínculos fazem suporte lateral.
  • K: fator de comprimento efetivo (sem unidade), que depende das condições de contorno (encastrado, engaste, articulado, apoio intermédio etc.). Valores típicos:
    • pino–pino (articulado–articulado): K=1{,}0.
    • engastado–engastado (fixo–fixo): K=0{,}5.
    • engastado–pino (fixo–articulado): K\approx0{,}7.
    • livre–fixo (cantilever): K=2{,}0.
  • Depois de obter P_{cr} usa-se o coeficiente de segurança para obter a carga admissível:
P_{adm}=\frac{P_{cr}}{\text{FS}}.
  • Se a peça tiver apoios intermediários (por exemplo cabos que oferecem travamento lateral em certos pontos), o comprimento efetivo para flambagem será menor (por exemplo divisão em segmentos) e isso reduz K L, aumentando P_{cr}. Portanto a figura do Problema 10.22 é crucial.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados que temos (expressão numérica em função de I e K)
  • Substituindo E e L na expressão de Euler, mantendo I e K simbólicos:
P_{cr}=\frac{\pi^{2}(200\times10^{9})\,I}{(K\cdot 7{,}3)^{2}}.
  • Calcular passo a passo o coeficiente numérico que multiplica I/K^{2}:
    • \pi^{2}\cdot 200\times10^{9}\approx 9{,}8696\cdot 200\times10^{9}=1{,}9739\times10^{12}.
    • L^{2}=(7{,}3)^{2}=53{,}29.
    • Logo
    \frac{\pi^{2}E}{L^{2}}\approx\frac{1{,}9739\times10^{12}}{53{,}29}\approx 3{,}704\times10^{10}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
    • Portanto
    P_{cr}\approx 3{,}704\times10^{10}\,\frac{I}{K^{2}}\quad(\text{com }I\\ \text{em}\\ \mathrm{m^{4}},\\ P_{cr}\\ \text{em N}).
  • Aplicando o coeficiente de segurança \text{FS}=2{,}2:
P_{adm}=\frac{P_{cr}}{2{,}2}\approx 1{,}684\times10^{10}\,\frac{I}{K^{2}}\quad(\text{N}).
  • Observação prática: ao obter I em \mathrm{m^{4}} e escolher o K adequado, basta substituir nessa fórmula para obter P_{adm} em N. Para converter para kN divide-se por 1000.

Passo 4

Como obter I e por que isso depende do perfil e da orientação
  • O perfil \text{W}200\times31{,}3 indica a massa linear do perfil: w=31{,}3\\ \mathrm{kg/m}. A área transversal pode ser estimada por
A=\frac{w}{\rho},
onde \rho é a densidade do aço ( \rho\approx7850\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Assim
A\approx\frac{31{,}3}{7850}\approx 0{,}00399\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O momento de inércia I NÃO é obtido apenas da massa linear; ele depende da geometria exata da seção (posicionamento das almas e alas). Para perfis comerciais procura-se a tabela do perfil (catálogo do fabricante/norma) que fornece I_x e I_y (m^{4}) e raios de giração r_x=\sqrt{I_x/A}, r_y=\sqrt{I_y/A}.
  • Em problemas de flambagem deve-se calcular P_{cr} para os dois eixos (forte e fraco) usando os respectivos I; o menor P_{cr} é o crítico e determina P_{adm}.

Passo 5

Verificação da aplicabilidade da fórmula de Euler (passos que faria na prova)
  • Calcular os raios de giração r=\sqrt{I/A} (em m) usando os I obtidos nas tabelas.
  • Calcular o esbeltez eficaz
\lambda=\frac{K L}{r}.
  • Se a peça for muito curta (pouco esbelta), pode não ser adequado usar a fórmula pura de Euler; códigos usam curvas de interação (por exemplo fórmulas de secção de aço que combinam flambagem e resistência à compressão). Em problemas de exercício escolar normalmente se assume Euler quando a esbeltez é suficientemente grande. Portanto sempre verifique \lambda e compare com limites do código (ou com instruções do enunciado).
  • Conclusão prática: depois de obter I e K calcula-se P_{cr}, verifica-se a validade de Euler, e então obtém-se P_{adm}=P_{cr}/\text{FS}.

Passo 6

O que exatamente falta (lista concreta) — por isso não posso dar um número agora
Para calcular um valor numérico para P admissível é necessário, no mínimo:
  1. A figura do Problema 10.22 (ou descrição equivalente) para saber:
    • as condições de extremidade (encastrado, articulado, etc.) e assim escolher K; ou
    • se existem apoios intermediários (cabos) que reduzem o comprimento eficaz (por exemplo travamento em um ou mais pontos), e a posição desses apoios (distâncias ao longo de L);
  2. A orientação do perfil (se o membro pode flambear no eixo forte ou no fraco) — geralmente a figura indica se a alma está na direção do plano de flambagem relevante; portanto preciso saber se deve usar I_x ou I_y;
  3. Os valores de I_x e I_y do perfil \text{W}200\times31{,}3 (tabela do fabricante ou norma). Sem esses I não há número final para P.
    Sem esses itens não é possível obter um valor numérico único para P_{adm}. Se o enunciado do Problema 10.22 contiver esses dados (figura + tabela), bastam os passos acima para o cálculo direto.

Passo 7

Se você tiver a figura (ou a tabela) — instruções rápidas e práticas para fazer na prova
  1. Identifique os apoios e calcule/seleccione K. Se houver travamentos laterais em pontos internos, determine o comprimento de flambagem efetivo de cada tramo (pode dividir o vaso em segmentos).
  2. Consulte a tabela do perfil para obter I_x e I_y.
  3. Calcule P_{cr} para cada eixo e para cada tramo relevante usando
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L_{\text{ef}})^{2}}.
  1. Verifique a esbeltez \lambda=\dfrac{K L_{\text{ef}}}{\sqrt{I/A}} e confirme que Euler é aplicável (ou use a regra do código se necessário).
  2. Obtenha P_{adm}=P_{cr}/2{,}2. Escolha o menor P_{adm} entre os eixos/tramos: esse é o \mathbf{P} admissível do conjunto.

Passo 8

Resumo útil (fórmulas e o que substituir rapidamente)
  • Fórmula de Euler:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
  • Carga admissível com o FS pedido:
P_{adm}=\frac{1}{\text{FS}}\; \frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}.
  • Com E=200\\ \mathrm{GPa} e L=7{,}3\\ \mathrm{m} obtém-se a expressão numérica intermediária:
P_{adm}\approx 1{,}684\times10^{10}\,\frac{I}{K^{2}}\quad(\text{N}).
Substitua I (m^{4}) e K (unitário) e converta para kN dividindo por 1000.

Passo 9

Se quiser, faça o seguinte e eu calculo para você
  • Envie a figura do Problema 10.22 (ou descreva claramente as condições de apoio, a posição dos cabos e a orientação do perfil) e/ou envie os valores de I_x e I_y da tabela do perfil. Com isso eu faço os cálculos numéricos passo a passo e checo a validade de Euler.
Força aí — dá para resolver rapidinho quando a figura/tabelas estiverem em mãos. Vamos com calma que fica tranquilo!

Resposta

Não é possível determinar numericamente \mathbf{P} admissível porque a figura do Problema 10.22 (que contém as condições de apoio e a posição dos cabos) e os valores de I_x e I_y do perfil não foram fornecidos; são necessários pelo menos K (condições de contorno/apoios) e os momentos de inércia para calcular P_{adm}=\dfrac{1{,}684\times10^{10}\,I}{K^{2}}\\ \text{(N)}.

Exercícios relacionados