Um autotransformador elevador é utilizado para alimentar em 3 kV uma carga a partir de uma linha de 2,4 \mathrm{kV}. Se a carga nominal secundária é de 50 A .
calcule (desprezando as perdas e a corrente de magnetização)
(a) a corrente em cada enrolamento do autotransformador
(b) a corrente solicitada da linha de alimentação de 2,4 \mathrm{kV}
(c) a capacidade em kVA do autotransformador
(d) a potência transformada do primário ao secundário, para carga nominal e FP unitário
(e) a potência transferida condutivamente do primário ao secundário, à carga nominal e FP unitário.
(f) a capacidade em kVA de um transformador convencional de dois enrolamentos, necessário para realizar a mesma transformação.

Passo 1

O enunciado pede as grandezas (a) a (f) para um autotransformador elevador que alimenta uma carga de 3{,}0\\ \mathrm{kV} com corrente nominal secundária 50\\ \mathrm{A}, a partir de uma linha de 2{,}4\\ \mathrm{kV}. Dados fornecidos:
V_1 = 2{,}4\\ \mathrm{kV},\qquad V_2 = 3{,}0\\ \mathrm{kV},\qquad I_2 = 50\\ \mathrm{A},
e nos itens (d) e (e) é informado “FP unitário” (ou seja, fator de potência =1). Desprezamos perdas e corrente de magnetização (transformador ideal).
As perguntas são:
(a) corrente em cada enrolamento do autotransformador;
(b) corrente solicitada da linha de alimentação de 2{,}4\\ \mathrm{kV};
(c) capacidade em kVA do autotransformador;
(d) potência transformada do primário ao secundário (carga nominal, FP unitário);
(e) potência transferida condutivamente do primário ao secundário (carga nominal, FP unitário);
(f) capacidade em kVA de um transformador convencional de dois enrolamentos necessário para realizar a mesma transformação.

Passo 2

Primeiro calculemos a razão de transformação (fator de escala) do autotransformador:
a=\frac{V_2}{V_1}=\frac{3{,}0\\ \mathrm{kV}}{2{,}4\\ \mathrm{kV}}=1{,}25.
Esse fator é útil para relacionar tensões e, via balanço de potência, correntes entre primário e secundário.

Passo 3

Usando que desprezamos perdas (transformador ideal) e FP unitário, a potência aparente (e real) é conservada:
V_1 I_1 = V_2 I_2.
Desse modo a corrente de entrada I_1 da linha é
I_1=\frac{V_2}{V_1}\,I_2 = a\,I_2.
Substituindo numericamente:
I_1 = 1{,}25 \times 50\\ \mathrm{A} = 62{,}5\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: isso vem direto do fato de que, sem perdas, a potência na entrada deve igualar a potência na saída; como V_1<V_2, a corrente de entrada será maior que a corrente do secundário.

Passo 4

Agora determinamos as correntes em cada parte do enrolamento do autotransformador. Visualize o autotransformador com um enrolamento único cujo trecho inferior (comum) corresponde à tensão V_1 e o trecho total corresponde à tensão V_2. O trecho adicional (entre os pontos da tomada) tem tensão V_2-V_1.
  • O trecho adicional (enrolamento série que fornece a diferença de tensão) está em série com a carga, logo sua corrente é igual à corrente da carga:
I_{\text{serie}} = I_2 = 50\\ \mathrm{A}.
  • O trecho comum (compartilhado entre primário e secundário) carrega a diferença entre a corrente de secundário e a corrente de primário (pela lei das correntes no nó do ponto de tomada). Tomando sinais, I_{\text{comum}}=I_2-I_1. Numericamente:
I_{\text{comum}} = 50\\ \mathrm{A} - 62{,}5\\ \mathrm{A} = -12{,}5\\ \mathrm{A}.
O sinal negativo indica que a direção real da corrente no trecho comum é oposta àquele que escolhemos como positiva; em módulo:
|I_{\text{comum}}| = 12{,}5\\ \mathrm{A}.
Comentário didático: fisicamente isso significa que uma parte da corrente do secundário é “compensada” por corrente vindo do primário através do trecho comum — o autotransformador redistribui as correntes entre os trechos.

Passo 5

Cálculo da capacidade em kVA do autotransformador. A potência aparente (kVA) que o autotransformador precisa suportar é a potência aparente da carga (pois ele alimenta diretamente a carga):
S_{\text{auto}} = V_2 I_2 = 3{,}0\\ \mathrm{kV}\times 50\\ \mathrm{A} = 150\\ \mathrm{kVA}.
Comentário: embora o autotransformador transporte parte da potência de forma condutiva, sua capacidade nominal em kVA é a do serviço que provê (a carga).

Passo 6

Potência transformada magneticamente (do primário ao secundário) para carga nominal e FP unitário.
Duas formas equivalentes de ver isso:
  • diferença de tensão multiplicada pela corrente da carga:
P_{\text{transformada}} = (V_2 - V_1)\,I_2.
  • ou fração da potência total igual a 1-\dfrac{V_1}{V_2} vezes a potência da carga.
Calculando:
V_2 - V_1 = 3{,}0\\ \mathrm{kV} - 2{,}4\\ \mathrm{kV} = 0{,}6\\ \mathrm{kV},
P_{\text{transformada}} = 0{,}6\\ \mathrm{kV}\times 50\\ \mathrm{A} = 30\\ \mathrm{kW}.
Como FP =1, aqui kW = kVA, então 30\\ \mathrm{kVA} transformados magneticamente.

Passo 7

Potência transferida condutivamente do primário ao secundário (carga nominal, FP unitário).
Essa é a parte da potência que é diretamente conduzida pela porção comum do enrolamento e corresponde a:
P_{\text{condutiva}} = V_1\,I_2.
Numericamente:
P_{\text{condutiva}} = 2{,}4\\ \mathrm{kV}\times 50\\ \mathrm{A} = 120\\ \mathrm{kW}.
Verificação de consistência:
P_{\text{condutiva}} + P_{\text{transformada}} = 120\\ \mathrm{kW} + 30\\ \mathrm{kW} = 150\\ \mathrm{kW} = V_2 I_2,
ou seja, soma dá a potência total fornecida à carga.

Passo 8

Capacidade em kVA de um transformador convencional de dois enrolamentos necessário para realizar a mesma transformação.
Um transformador convencional (dois enrolamentos) teria que transferir magneticamente toda a potência que, no autotransformador, é transferida magneticamente. Portanto sua potência necessária é justamente P_{\text{transformada}} calculada no Passo 6:
S_{\text{convencional}} = P_{\text{transformada}} = 30\\ \mathrm{kVA}.
Comentário final encorajador: pronto — com esses passos você tem as correntes em cada trecho, como a potência se divide entre transferência magnética e condutiva, e a comparação com um transformador convencional. Vai bem — isso é exatamente o tipo de raciocínio que aparece em prova!

Resposta

(a) I_{\text{enrolamento série}}=50\\ \mathrm{A},\quad I_{\text{enrolamento comum}}=12{,}5\\ \mathrm{A}é (módulo; a corrente real no comum é oposta a I_2).
(b) I_{\text{linha}}=62{,}5\\ \mathrm{A}.
(c) S_{\text{auto}}=150\\ \mathrm{kVA}.
(d) P_{\text{transformada}}=30\\ \mathrm{kW} (ou 30\\ \mathrm{kVA} para FP =1).
(e) P_{\text{condutiva}}=120\\ \mathrm{kW} (ou 120\\ \mathrm{kVA} para FP =1).
(f) S_{\text{convencional}}=30\\ \mathrm{kVA}.

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