Uma portadora de 49 MHz é modulada em frequência por uma onda quadrada de 1,5 \mathrm{kHz}. O índice de modulação é 0,25 . Esboce o espectro do sinal resultante. (Considere que apenas os harmônicos menores do que o sexto passam pelo sistema.)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada uma portadora com frequência f_c = 49\\ \mathrm{MHz}.
  • Modulação em frequência por uma onda quadrada com frequência fundamental f_m = 1{,}5\\ \mathrm{kHz}.
  • Índice de modulação informado: \beta = 0{,}25.
  • Condição: considerar apenas os harmónicos menores do que o sexto (ou seja, só os harmónicos 1,\;3,\;5 do sinal quadrado — porque o sinal quadrado só tem harmónicos ímpares).
  • Pedido: esboçar o espectro do sinal resultante (ou seja, indicar as linhas espectrais em torno de f_c e suas amplitudes relativas).

Passo 2

Plano de ataque e conceitos que vamos usar (sem ainda calcular):
  • Uma onda quadrada pode ser escrita como soma de senos (série de Fourier): só existem harmónicos ímpares n=1,3,5,\dots com amplitude decrescente \propto 1/n.
  • Cada harmónico senoidal de frequência n f_m age como uma modulação senoidal separada sobre a portadora. A cada componente senoidal corresponde um conjunto de bandas laterais em torno de f_c deslocadas por múltiplos de n f_m.
  • Para cada componente senoidal com índice de modulação \beta_n, os coeficientes das linhas (porteadora e laterais) são dados pelas funções de Bessel J_k(\beta_n): a porteadora tem amplitude proporcional a J_0(\beta_n) e a banda lateral de ordem k (deslocamento k\cdot n f_m) tem amplitude proporcional a J_k(\beta_n).
  • Com vários harmónicos presentes, o espectro final resulta da combinação desses conjuntos de linhas. Para índices pequenos (como aqui), podemos:
    1. calcular \beta_n para cada harmónico,
    2. usar aproximações de Bessel para pequenos argumentos,
    3. somar as contribuições em cada frequência coincidente (por exemplo, a linha em f_c\pm 3 f_m recebe contribuição tanto do k=1,\;q=3 do harmónico 1 quanto do k=3,\;q=1 do harmónico 3).
  • Observação prática: como \beta é pequeno, só as primeiras ordens J_0, J_1, J_2 importam — e os \beta_n dos harmónicos superiores serão ainda menores.

Passo 3

Série de Fourier da onda quadrada (lembrando): uma quadrada de amplitude \pm A tem componentes senoidais (para n ímpar)
A_n = \frac{4A}{\pi n}.
Vamos relacionar isso com índices de modulação: seja k_f a sensibilidade de frequência (Hz por unidade do sinal). A contribuição em desvio de frequência do n-ésimo harmónico é \Delta f_n = k_f A_n. O índice de modulação do n-ésimo harmónico é
\beta_n=\frac{\Delta f_n}{n f_m}=\frac{k_f A_n}{n f_m} =\frac{k_f}{f_m}\cdot\frac{4A}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2}.
Definindo a constante
\beta_1 \equiv \frac{k_f}{f_m}\cdot\frac{4A}{\pi},
temos a relação simples e útil
\beta_n=\frac{\beta_1}{n^2}.
Aqui tomamos o índice fornecido pelo enunciado \beta=0{,}25 como sendo o índice da componente fundamental (isto é, \beta_1=0{,}25). Esta é a escolha natural quando se fala de índice de modulação com um modulador periódico: interpreta-se o \beta dado como o índice correspondente à componente fundamental da forma de onda moduladora.

Passo 4

Calculemos os índices dos harmónicos que passam (apenas n=1,3,5):
\beta_1 = 0{,}25,
\beta_3 = \frac{\beta_1}{3^2}=\frac{0{,}25}{9}=0{,}027\,777\ldots \approx 0{,}0278,
\beta_5 = \frac{\beta_1}{5^2}=\frac{0{,}25}{25}=0{,}01.

Passo 5

Relembrando as propriedades das funções de Bessel para argumentos pequenos (aproximações úteis para |x|\ll1):
J_0(x)\approx 1-\frac{x^2}{4},\qquad J_1(x)\approx \frac{x}{2}-\frac{x^3}{16},\qquad J_2(x)\approx \frac{x^2}{8}.
Vamos avaliar (aproximadamente) os coeficientes relevantes para cada \beta_n.
Para \beta_1=0{,}25:
J_0(0{,}25)\approx 1-\frac{0{,}25^2}{4}=1-\frac{0{,}0625}{4}=1-0{,}015625=0{,}984375.
J_1(0{,}25)\approx \frac{0{,}25}{2}-\frac{0{,}25^3}{16} =0{,}125-\frac{0{,}015625}{16}=0{,}125-0{,}0009766\approx 0{,}1240.
J_2(0{,}25)\approx \frac{0{,}25^2}{8}=\frac{0{,}0625}{8}=0{,}0078125\\ (\text{aprox. }0{,}00777\\ \text{se incluirmos termos superiores}).
J_3(0{,}25)\text{ é muito pequeno; aproximação }\;J_3\approx\frac{x^3}{48}\approx 0{,}000326.éçã
Para \beta_3\approx 0{,}0278 (muito pequeno):
J_0(0{,}0278)\approx 1-\frac{0{,}0278^2}{4}\approx 0{,}9998,
J_1(0{,}0278)\approx \frac{0{,}0278}{2}\approx 0{,}0139.
Para \beta_5=0{,}01:
J_0(0{,}01)\approx 1-\frac{0{,}01^2}{4}\approx 0{,}999975,
J_1(0{,}01)\approx \frac{0{,}01}{2}=0{,}005.
Obs.: como \beta_3 e \beta_5 são bem pequenos, só precisamos de J_0 e J_1 para eles.

Passo 6

Agora determinamos as linhas espectrais e suas amplitudes relativas aproximadas. Regras práticas:
  • A componente da porteadora final é aproximadamente o produto J_0(\beta_1)J_0(\beta_3)J_0(\beta_5) (para muitos tons a porteadora é produto dos J_0s). Usando números:
\text{Amplitude do portador}\approx 0{,}984375\times 0{,}9998\times 0{,}999975\approx 0{,}98416\\ (\text{aprox. }0{,}984).
  • As bandas laterais aparecem em frequências f_c \pm m f_m (com m inteiro). Cada contribuição de um harmónico n gera linhas em f_c\pm q\cdot n f_m com amplitude proporcional a J_q(\beta_n). Para \beta pequeno, J_1 e J_2 dominam nos casos relevantes.
Vamos listar as linhas até o 5.º harmónico (ou seja, deslocamentos \pm 1 f_m,\pm 2 f_m,\pm 3 f_m,\pm 4 f_m,\pm 5 f_m) e suas amplitudes aproximadas (valores relativos ao mesmo nível da portadora sem modulação):
  • Porta (linha central):
    • frequência \;f_c = 49\\ \mathrm{MHz},
    • amplitude relativa \approx 0{,}984.
  • Primeira pares de laterais ( \pm 1 f_m, isto é, \pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}):
    • dominadas por J_1(\beta_1),
    • amplitude relativa \approx J_1(0{,}25)\times J_0(\beta_3)J_0(\beta_5)\approx 0{,}124.
    • portanto linhas em \;49\\ \mathrm{MHz}\pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz} com altura \approx 0{,}124.
  • Segunda pares ( \pm 2 f_m, isto é, \pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}):
    • principal contribuição de J_2(\beta_1),
    • amplitude relativa \approx J_2(0{,}25)\approx 0{,}0078.
    • linhas em \;49\\ \mathrm{MHz}\pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz} com altura \approx 0{,}0078.
  • Terceira pares ( \pm 3 f_m, isto é, \pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz}):
    • tem duas contribuições notáveis:
      1. do harmónico n=1 com ordem q=3: amplitude \approx J_3(0{,}25)\approx 0{,}00033 (muito pequena),
      2. do harmónico n=3 com ordem q=1: amplitude \approx J_1(\beta_3)\approx 0{,}0139 (predominante).
    • somando (aprox.) temos amplitude relativa \approx 0{,}0142.
    • linhas em \;49\\ \mathrm{MHz}\pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz} com altura \approx 0{,}014.
  • Quarta pares ( \pm 4 f_m, isto é, \pm 6{,}0\\ \mathrm{kHz}):
    • praticamente desprezível (não há harmónico n=4 no quadrado; contribuição do q=4 do n=1 é extremamente pequena).
    • podemos considerar amplitude \approx 10^{-5} (negligenciável).
  • Quinta pares ( \pm 5 f_m, isto é, \pm 7{,}5\\ \mathrm{kHz}):
    • contribuição do harmónico n=5, ordem q=1: J_1(\beta_5)\approx 0{,}005.
    • contribuição adicional do q=5 do n=1 é negligível.
    • linhas em \;49\\ \mathrm{MHz}\pm 7{,}5\\ \mathrm{kHz} com altura \approx 0{,}005.
Observação: todos os valores acima são amplitudes relativas (normalizadas à amplitude da portadora sem modulação). O espectro é simétrico (pares superiores e inferiores com amplitudes iguais), porque a modulação é real.

Passo 7

Como esboçar o espectro (instruções para o desenho):
  • Desenhe uma linha vertical em f_c=49\\ \mathrm{MHz} com altura \approx 0{,}984 (quase 1).
  • Em cada lado (à esquerda e à direita) marque linhas verticais em deslocamentos de \pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}, \pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}, \pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz}, \pm 6{,}0\\ \mathrm{kHz} (pode riscar para referência) e \pm 7{,}5\\ \mathrm{kHz}.
  • Coloque alturas (relativas) aproximadas:
    • \pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}: 0{,}124,
    • \pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}: 0{,}0078,
    • \pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz}: 0{,}0142,
    • \pm 6{,}0\\ \mathrm{kHz}: desprezível,
    • \pm 7{,}5\\ \mathrm{kHz}: 0{,}005.
  • Use escala vertical linear (ou em dB, se preferir) para mostrar claramente que a maior parte da energia está na porteadora e nas primeiras bandas laterais \pm 1 f_m.

Passo 8

Interpretação física e dica para prova:
  • Como \beta_1 é pequeno (0{,}25), a maioria da potência permanece na porteadora e nas primeiras laterais \pm 1 f_m.
  • O fato de o modulador ser quadrado faz aparecer harmónicos (3.º, 5.º, …) que criam pares de laterais em \pm 3 f_m, \pm 5 f_m, etc., mas cada harmónico tem índice \beta_n muito menor (decai com 1/n^2), por isso suas linhas são fracas.
  • Na prova, escreva a série de Fourier do quadrado, calcule os \beta_n por \beta_n=\beta_1/n^2, e depois use os primeiros termos das expansões das funções de Bessel para estimar amplitudes; isso é rápido e suficiente quando \beta é pequeno.

Resposta

Portadora: 49\\ \mathrm{MHz}, amplitude relativa \approx 0{,}984.\n
Laterais em 49\\ \mathrm{MHz}\pm 1{,}5\\ \mathrm{kHz}: amplitude \approx 0{,}124.\n
Laterais em 49\\ \mathrm{MHz}\pm 3{,}0\\ \mathrm{kHz}: amplitude \approx 0{,}0078.\n
Laterais em 49\\ \mathrm{MHz}\pm 4{,}5\\ \mathrm{kHz}: amplitude \approx 0{,}0142.\n
Laterais em 49\\ \mathrm{MHz}\pm 6{,}0\\ \mathrm{kHz}: praticamente desprezível.\n
Laterais em 49\\ \mathrm{MHz}\pm 7{,}5\\ \mathrm{kHz}: amplitude \approx 0{,}005.

Exercícios relacionados