Uma portadora de 49 MHz é modulada em frequência por uma onda quadrada de
. O índice de modulação é 0,25 . Esboce o espectro do sinal resultante. (Considere que apenas os harmônicos menores do que o sexto passam pelo sistema.)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada uma portadora com frequência
. - Modulação em frequência por uma onda quadrada com frequência fundamental
. - Índice de modulação informado:
. - Condição: considerar apenas os harmónicos menores do que o sexto (ou seja, só os harmónicos
do sinal quadrado — porque o sinal quadrado só tem harmónicos ímpares). - Pedido: esboçar o espectro do sinal resultante (ou seja, indicar as linhas espectrais em torno de
e suas amplitudes relativas).
Passo 2
Plano de ataque e conceitos que vamos usar (sem ainda calcular):
- Uma onda quadrada pode ser escrita como soma de senos (série de Fourier): só existem harmónicos ímpares
com amplitude decrescente . - Cada harmónico senoidal de frequência
age como uma modulação senoidal separada sobre a portadora. A cada componente senoidal corresponde um conjunto de bandas laterais em torno de deslocadas por múltiplos de . - Para cada componente senoidal com índice de modulação
, os coeficientes das linhas (porteadora e laterais) são dados pelas funções de Bessel : a porteadora tem amplitude proporcional a e a banda lateral de ordem (deslocamento ) tem amplitude proporcional a . - Com vários harmónicos presentes, o espectro final resulta da combinação desses conjuntos de linhas. Para índices pequenos (como aqui), podemos:
- calcular
para cada harmónico, - usar aproximações de Bessel para pequenos argumentos,
- somar as contribuições em cada frequência coincidente (por exemplo, a linha em
recebe contribuição tanto do do harmónico 1 quanto do do harmónico 3).
- calcular
- Observação prática: como
é pequeno, só as primeiras ordens , , importam — e os dos harmónicos superiores serão ainda menores.
Passo 3
Série de Fourier da onda quadrada (lembrando): uma quadrada de amplitude
tem componentes senoidais (para
ímpar)
Vamos relacionar isso com índices de modulação: seja
a sensibilidade de frequência (Hz por unidade do sinal). A contribuição em desvio de frequência do
-ésimo harmónico é
. O índice de modulação do
-ésimo harmónico é
Definindo a constante
temos a relação simples e útil
Aqui tomamos o índice fornecido pelo enunciado
como sendo o índice da componente fundamental (isto é,
). Esta é a escolha natural quando se fala de índice de modulação com um modulador periódico: interpreta-se o
dado como o índice correspondente à componente fundamental da forma de onda moduladora.
Passo 4
Calculemos os índices dos harmónicos que passam (apenas
):
Passo 5
Relembrando as propriedades das funções de Bessel para argumentos pequenos (aproximações úteis para
):
Vamos avaliar (aproximadamente) os coeficientes relevantes para cada
.
Para
:
Para
(muito pequeno):
Para
:
Obs.: como
e
são bem pequenos, só precisamos de
e
para eles.
Passo 6
Agora determinamos as linhas espectrais e suas amplitudes relativas aproximadas. Regras práticas:
- A componente da porteadora final é aproximadamente o produto
(para muitos tons a porteadora é produto dos s). Usando números:
- As bandas laterais aparecem em frequências
(com inteiro). Cada contribuição de um harmónico gera linhas em com amplitude proporcional a . Para pequeno, e dominam nos casos relevantes.
Vamos listar as linhas até o 5.º harmónico (ou seja, deslocamentos
) e suas amplitudes aproximadas (valores relativos ao mesmo nível da portadora sem modulação):
-
Porta (linha central):
- frequência
, - amplitude relativa
.
- frequência
-
Primeira pares de laterais (
, isto é, ): - dominadas por
, - amplitude relativa
. - portanto linhas em
com altura .
- dominadas por
-
Segunda pares (
, isto é, ): - principal contribuição de
, - amplitude relativa
. - linhas em
com altura .
- principal contribuição de
-
Terceira pares (
, isto é, ): - tem duas contribuições notáveis:
- do harmónico
com ordem : amplitude (muito pequena), - do harmónico
com ordem : amplitude (predominante).
- do harmónico
- somando (aprox.) temos amplitude relativa
. - linhas em
com altura .
- tem duas contribuições notáveis:
-
Quarta pares (
, isto é, ): - praticamente desprezível (não há harmónico
no quadrado; contribuição do do é extremamente pequena). - podemos considerar amplitude
(negligenciável).
- praticamente desprezível (não há harmónico
-
Quinta pares (
, isto é, ): - contribuição do harmónico
, ordem : . - contribuição adicional do
do é negligível. - linhas em
com altura .
- contribuição do harmónico
Observação: todos os valores acima são amplitudes relativas (normalizadas à amplitude da portadora sem modulação). O espectro é simétrico (pares superiores e inferiores com amplitudes iguais), porque a modulação é real.
Passo 7
Como esboçar o espectro (instruções para o desenho):
- Desenhe uma linha vertical em
com altura (quase 1). - Em cada lado (à esquerda e à direita) marque linhas verticais em deslocamentos de
, , , (pode riscar para referência) e . - Coloque alturas (relativas) aproximadas:
-
: , -
: , -
: , -
: desprezível, -
: .
-
- Use escala vertical linear (ou em dB, se preferir) para mostrar claramente que a maior parte da energia está na porteadora e nas primeiras bandas laterais
.
Passo 8
Interpretação física e dica para prova:
- Como
é pequeno (0{,}25), a maioria da potência permanece na porteadora e nas primeiras laterais . - O fato de o modulador ser quadrado faz aparecer harmónicos (3.º, 5.º, …) que criam pares de laterais em
, etc., mas cada harmónico tem índice muito menor (decai com ), por isso suas linhas são fracas. - Na prova, escreva a série de Fourier do quadrado, calcule os
por , e depois use os primeiros termos das expansões das funções de Bessel para estimar amplitudes; isso é rápido e suficiente quando é pequeno.
Resposta
Portadora:
, amplitude relativa
.\n
Laterais em : amplitude
.\n
Laterais em : amplitude
.\n
Laterais em : amplitude
.\n
Laterais em : praticamente desprezível.\n
Laterais em : amplitude
.
Laterais em
Laterais em
Laterais em
Laterais em
Laterais em