Um avião comercial voa próximo a 200 hPa , onde tipicamente a temperatura do ar é de -60^{\circ} \mathrm{C}. (a) Calcule a temperatura do ar quando ele é comprimido adiabaticamente para a pressão da cabine de 1000 hPa .(b) Quanto calor específico deve ser adicionado ou removido (isobaricamente) para manter a cabine a 25^{\circ} \mathrm{C} ? Considere o ar como ar seco.

Passo 1

O enunciado trata de comprimir adiabaticamente ar seco que voa em P_{1}=200\\ \mathrm{hPa}, T_{1}=-60^{\circ}\mathrm{C}, até P_{2}=1000\\ \mathrm{hPa}, e depois resfriar à pressão constante para manter T_{\mathrm{cabine}}=25^{\circ}\mathrm{C}. O conteúdo é termodinâmica de gás ideal: usamos a relação de Poisson para adiabática e a equação do calor a pressão constante.

Passo 2

Listamos os dados e constantes:
P_{1}=200\\ \mathrm{hPa},\quad P_{2}=1000\\ \mathrm{hPa},\quad T_{1}=-60^{\circ}\mathrm{C}=213,15\\ \mathrm{K}, \gamma=C_{p}/C_{v}=1{,}4 (ar seco) e c_{p}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Para compressão adiabática válida para gás ideal, vale
T_{2}=T_{1}\Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.

Passo 4

Calculamos o fator de compressão e a nova temperatura:
\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1000}{200}=5,\quad \frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{0{,}4}{1{,}4}\approx0{,}2857,
T_{2}=213{,}15\times5^{0{,}2857}\approx213{,}15\times1{,}583\approx337{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Convertendo T_{2} para graus Celsius:
T_{2}=337{,}5\\ \mathrm{K}-273{,}15\approx64{,}4^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Para manter a cabine a T_{\mathrm{cabine}}=25^{\circ}\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K} a pressão constante, o calor específico trocado por quilograma de ar é
q=c_{p}\bigl(T_{\mathrm{cabine}}-T_{2}\bigr) =1{,}005\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\,K}}\,(298{,}15-337{,}5)\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calculando q:
q=1{,}005\times(-39{,}35)\approx-39{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
O sinal negativo indica remoção de calor (resfriamento).

Resposta

(a) T_{2}\approx337{,}5\\ \mathrm{K} (ou 64{,}4^{\circ}\mathrm{C}).
(b) É necessário remover aproximadamente 39{,}5\\ \mathrm{kJ} de calor por quilograma de ar para manter 25^{\circ}\mathrm{C}.

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