Um avião, fazendo um mergulho sob um ângulo de 60^circ com a vertical, larga um projétil de uma altitude de 800 m . O projétil atinge o solo depois de 5,0 s. Qual a distância horizontal percorrida pelo projétil?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema: um avião está fazendo um mergulho formando um ângulo de 60^circ com a vertical e solta um projétil de uma altitude de 800 metros. Esse projétil leva 5,0 segundos para atingir o solo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a distância horizontal que o projétil percorreu durante esse tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que estudam o movimento dos objetos, e vamos precisar separar o movimento em suas componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o ângulo de mergulho. O avião está fazendo um mergulho de 60^circ com a vertical. Isso significa que o ângulo entre a trajetória do avião e a linha vertical é de 60^circ. Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o ângulo que a trajetória faz com a horizontal. Lembrando que a soma dos ângulos entre a vertical e a horizontal é 90^circ:
theta = 90^circ - 60^circ = 30^circ
Então, o ângulo da trajetória com a horizontal é 30^circ.

Passo 3

Agora, vamos separar a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Como não foi dado o valor da velocidade, mas sabemos o tempo de queda e a altura, podemos descobrir essas componentes usando as equações de movimento vertical.
A posição vertical do projétil em função do tempo é dada por:
y(t) = y0 + vy t - 12 g t^2
Onde:
  • y(t) é a posição vertical no tempo t
  • y0 é a posição inicial (800 m)
  • vy é a componente vertical da velocidade inicial
  • g é a aceleração devido à gravidade ( 9,8 , m/s^2)
  • t é o tempo (5,0 s)
Sabemos que o projétil atinge o solo quando y(t) = 0, então:
0 = 800 + vy times 5,0 - 12 times 9,8 times (5,0)^2
Vamos resolver essa equação para encontrar vy.

Passo 4

Vamos calcular os termos numéricos da equação:
0 = 800 + 5vy - 12 times 9,8 times 25
0 = 800 + 5vy - 122,5
Agora, somamos 800 e subtraímos 122,5:
0 = 677,5 + 5vy
Agora, isolamos vy:
5vy = -677,5
vy = -677,55 = -135,5 , m/s
O sinal negativo indica que a componente vertical da velocidade está para baixo.

Passo 5

Agora que temos vy, podemos achar a velocidade inicial total do projétil e, consequentemente, a componente horizontal vx. Sabemos que o ângulo theta com a horizontal é 30^circ, então:
tan(theta) = vyvx
Mas já sabemos vy e theta, então podemos rearranjar para encontrar vx:
vx = vytan(theta)
Substituindo os valores:
vx = -135,5tan(30^circ)
Sabemos que tan(30^circ) = raiz33 approx 0,5774, então:
vx = -135,50,5774 approx -234,6 , m/s
O sinal negativo indica que a direção da velocidade horizontal está de acordo com a direção positiva que escolhemos inicialmente.

Passo 6

Finalmente, para encontrar a distância horizontal percorrida pelo projétil, usamos a fórmula da distância em movimento retilíneo uniforme:
d = vx times t
Substituindo os valores:
d = 234,6 , m/s times 5,0 , s = 1173 , m

Resposta

A distância horizontal percorrida pelo projétil é de aproximadamente 1173 metros.

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