Um avião, fazendo um mergulho sob um ângulo de
a vertical, larga um projétil de uma altitude de 800 m . O projétil atinge o solo depois de
. Qual a distância horizontal percorrida pelo projétil?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema: um avião está fazendo um mergulho formando um ângulo de
com a vertical e solta um projétil de uma altitude de 800 metros. Esse projétil leva 5,0 segundos para atingir o solo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a distância horizontal que o projétil percorreu durante esse tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cinemática, que estudam o movimento dos objetos, e vamos precisar separar o movimento em suas componentes horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o ângulo de mergulho. O avião está fazendo um mergulho de
com a vertical. Isso significa que o ângulo entre a trajetória do avião e a linha vertical é de
. Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o ângulo que a trajetória faz com a horizontal. Lembrando que a soma dos ângulos entre a vertical e a horizontal é
:
Então, o ângulo da trajetória com a horizontal é
.
Passo 3
Agora, vamos separar a velocidade inicial do projétil em suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Como não foi dado o valor da velocidade, mas sabemos o tempo de queda e a altura, podemos descobrir essas componentes usando as equações de movimento vertical.
A posição vertical do projétil em função do tempo é dada por:
Onde:
-
é a posição vertical no tempo -
é a posição inicial (800 m) -
é a componente vertical da velocidade inicial -
é a aceleração devido à gravidade ( ) -
é o tempo (5,0 s)
Sabemos que o projétil atinge o solo quando
, então:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular os termos numéricos da equação:
Agora, somamos 800 e subtraímos 122,5:
Agora, isolamos
:
O sinal negativo indica que a componente vertical da velocidade está para baixo.
Passo 5
Agora que temos
, podemos achar a velocidade inicial total do projétil e, consequentemente, a componente horizontal
. Sabemos que o ângulo
com a horizontal é
, então:
Mas já sabemos
e
, então podemos rearranjar para encontrar
:
Substituindo os valores:
Sabemos que
, então:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade horizontal está de acordo com a direção positiva que escolhemos inicialmente.
Passo 6
Finalmente, para encontrar a distância horizontal percorrida pelo projétil, usamos a fórmula da distância em movimento retilíneo uniforme:
Substituindo os valores:
Resposta
A distância horizontal percorrida pelo projétil é de aproximadamente 1173 metros.