Considere um sistema atômico no qual as vibrações dos átomos comportam-se como em um oscilador harmônico com energias dadas por:
\varepsilon_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \cdot \varepsilon_{o} ; n=0,1,2, \ldots, 9
Considerando um sistema com 20 partículas distribuídas nos seguintes estados:
Estado I: ( \mathbf{0 , ~ 0 , ~ 2 , ~ 4 , ~ 8 , ~ 4 , ~ 2 , ~ 0 , ~ 0 , ~ 0 ) ~}
Estado II:(0, 2, 2, 4, 4, 4, 2, 2, 0, 0)
Estado III: (2, 4, 2, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 2)
Calcule (usando k=1.3806488 \times 10^{-23} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{~K}^{-1} ):
a) Qual dos três estados tem maior energia (CALCULE OS VALORES) ?
Reposta: Todos tem a mesma energia = 90 unidades de energia.
b) Qual dos três estados tem maior entropia (CALCULE OS VALORES)?
\Omega I: 2.619 \times 10^{10} microestados
\Omega II: 1.1 \times 10^{13} microestados
\Omega III: \mathbf{3 . 9 6} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{\mathbf{1 4}} microestados
S 1=3.3 \times 10^{-22} \mathrm{~J} / \mathrm{K}
S 2=4.1 \times 10^{-22} \mathrm{~J} / \mathrm{K}
S 3=4.6 \times 10^{-22} \mathrm{~J} / \mathrm{K}
O estado 3 tem maior entropia
c) Calcule a probabilidade dos estados de serem observados (CALCULE OS VALORES)? (Qual tem maior chance de ser observado?)
PI: \mathbf{2 . 6} \boldsymbol{\times} \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 0}}
P2: 1.1 \times 10^{-7}
P3: 3.96 \times 10^{-6}

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de 20 osciladores harmônicos quânticos, com níveis de energia
\varepsilon_{n}=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\,\varepsilon_{0},\quad n=0,1,\dots,9
e três distribuições de ocupação (n_{0},n_{1},\dots,n_{9}):
I: (0,0,2,4,8,4,2,0,0,0)
II: (0,2,2,4,4,4,2,2,0,0)
III: (2,4,2,2,2,2,0,2,2,2)
Vamos calcular:
a) Energia de cada estado
b) Entropia S_i=k\ln\Omega_i, onde \Omega_i=\dfrac{20!}{\prod_{n}n_{n}!}
c) Probabilidade relativa

Passo 2

Energia do estado i:
E_i \;=\;\sum_{n=0}^{9}n_{n}^{(i)}\;\varepsilon_{n} \;=\;\varepsilon_{0}\sum_{n=0}^{9}n_{n}^{(i)}\Bigl(n+\tfrac12\Bigr).
Para cada distribuição a soma \sum n_{n}(n+1/2)
\begin{aligned} \text{I:}\;&2\cdot2{,}5 +4\cdot3{,}5 +8\cdot4{,}5 +4\cdot5{,}5 +2\cdot6{,}5 =90,\\\ \text{II:}\;&2\cdot1{,}5+2\cdot2{,}5+4\cdot3{,}5+4\cdot4{,}5+4\cdot5{,}5+2\cdot6{,}5+2\cdot7{,}5 =90,\\\ \text{III:}\;&2\cdot0{,}5+4\cdot1{,}5+2\cdot2{,}5+2\cdot3{,}5+2\cdot4{,}5+2\cdot5{,}5 +2\cdot7{,}5+2\cdot8{,}5+2\cdot9{,}5 =90. \end{aligned}
Logo
E_{1}=E_{2}=E_{3}=90\,\varepsilon_{0}.

Passo 3

O número de microestados de cada macroestado é
\Omega_i \;=\;\frac{20!}{\prod_{n=0}^{9}n_{n}^{(i)}!}\,.
Calculando numericamente:
\begin{aligned} \Omega_{1}&=\frac{20!}{2!\,4!\,8!\,4!\,2!}\approx2{,}619\times10^{10},\\\ \Omega_{2}&=\frac{20!}{2!^4\,4!^3}\approx1{,}10\times10^{13},\\\ \Omega_{3}&=\frac{20!}{4!\,2!^8}\approx3{,}96\times10^{14}. \end{aligned}
Usando k=1{,}3806488\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}, temos
\begin{aligned} S_{1}&=k\ln\Omega_{1}\approx1{,}38\times10^{-23}\cdot23{,}99\approx3{,}3\times10^{-22}\,\mathrm{J/K},\\\ S_{2}&=k\ln\Omega_{2}\approx1{,}38\times10^{-23}\cdot30{,}05\approx4{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{J/K},\\\ S_{3}&=k\ln\Omega_{3}\approx1{,}38\times10^{-23}\cdot33{,}61\approx4{,}6\times10^{-22}\,\mathrm{J/K}. \end{aligned}
O maior valor de entropia é S_{3}.

Passo 4

Em microcanônico, cada microestado a E=90\varepsilon_{0} é equiprovável, logo a probabilidade de cada macroestado é
P_{i}=\frac{\Omega_{i}}{\Omega_{1}+\Omega_{2}+\Omega_{3}}.
Como \Omega_{1}+\Omega_{2}+\Omega_{3}\approx4{,}075\times10^{14},
temos
\begin{aligned} P_{1}&\approx\frac{2{,}619\times10^{10}}{4{,}075\times10^{14}}\approx6{,}43\times10^{-5},\\\ P_{2}&\approx\frac{1{,}10\times10^{13}}{4{,}075\times10^{14}}\approx2{,}70\times10^{-2},\\\ P_{3}&\approx\frac{3{,}96\times10^{14}}{4{,}075\times10^{14}}\approx0{,}973. \end{aligned}
O estado III tem a maior probabilidade de ser observado.

Resposta

a) E_{1}=E_{2}=E_{3}=90\,\varepsilon_{0}.
b) S_{1}\approx3{,}3\times10^{-22}\,\mathrm{J/K},\;S_{2}\approx4{,}1\times10^{-22}\,\mathrm{J/K},\;S_{3}\approx4{,}6\times10^{-22}\,\mathrm{J/K}. O maior é o estado III.
c) P_{1}\approx6{,}43\times10^{-5},\;P_{2}\approx2{,}70\times10^{-2},\;P_{3}\approx0{,}973. O estado III é o mais provável.

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