Se A=(2,-1,1), B=(1,2,-1) e C=(2,-11,7) são três vetores em R^3, encontre escalares x e y tais que C=x A+y B.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores em A = (2, -1, 1), B = (1, 2, -1), C = (2, -11, 7) :
C = x A + y B
A tarefa é encontrar os escalares e tais que:
Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de vetores. Precisamos determinar quais valores de e fazem essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação vetorial componente por componente. Isso significa que cada componente do vetor 2 = 2x + y -11 = -x + 2y 7 = x - y deve ser igual à combinação correspondente das componentes de e :
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 3

Como temos mais equações do que incógnitas, vamos verificar a consistência do sistema. Escolheremos duas equações para resolver o sistema e verificar se a terceira equação também é satisfeita.
Vamos usar a primeira e a terceira equações:
2 = 2x + y (1) 7 = x - y (3)

Passo 4

Vamos resolver a equação (3) para uma das variáveis. Vamos isolar 7 = x - y implies x = y + 7 :
2 = 2(y + 7) + y
Agora, temos em termos de . Vamos substituir essa expressão na equação (1):

Passo 5

Vamos simplificar a equação resultante:
2 = 2y + 14 + y 2 = 3y + 14
Agora, subtraímos 14 de ambos os lados:
2 - 14 = 3y -12 = 3y
Dividindo ambos os lados por 3:
y = -123 y = -4

Passo 6

Agora que encontramos x = y + 7 = -4 + 7 = 3 , vamos usar a expressão que encontramos para :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação do sistema:
-11 = -x + 2y -11 = -3 + 2(-4) -11 = -3 - 8 -11 = -11
A igualdade é verdadeira, portanto, os valores encontrados são consistentes.

Resposta

Os escalares são e .

Exercícios relacionados