Se e são três vetores em , encontre escalares e tais que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três vetores em :
A tarefa é encontrar os escalares e tais que:
Aqui, estamos trabalhando com combinações lineares de vetores. Precisamos determinar quais valores de e fazem essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação vetorial componente por componente. Isso significa que cada componente do vetor deve ser igual à combinação correspondente das componentes de e :
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ).
Passo 3
Como temos mais equações do que incógnitas, vamos verificar a consistência do sistema. Escolheremos duas equações para resolver o sistema e verificar se a terceira equação também é satisfeita.
Vamos usar a primeira e a terceira equações:
2 = 2x + y (1) 7 = x - y (3)
Passo 4
Vamos resolver a equação (3) para uma das variáveis. Vamos isolar 7 = x - y implies x = y + 7 :
2 = 2(y + 7) + y
Agora, temos em termos de . Vamos substituir essa expressão na equação (1):
Passo 5
Vamos simplificar a equação resultante:
2 = 2y + 14 + y 2 = 3y + 14
Agora, subtraímos 14 de ambos os lados:
2 - 14 = 3y -12 = 3y
Dividindo ambos os lados por 3:
y = -123 y = -4
Passo 6
Agora que encontramos x = y + 7 = -4 + 7 = 3 , vamos usar a expressão que encontramos para :
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação do sistema: