1. Se B for uma base de \mathbb{R}^{n} então a matriz mudança de base de B para B é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado diz que, se B=\{b_1,\dots,b_n\} for uma base de \mathbb{R}^n, então a matriz de mudança de base de B para B é a matriz identidade. O conteúdo envolvido é mudança de base em espaços vetoriais.

Passo 2

Por definição, a matriz de mudança de base de um conjunto de vetores B para outro conjunto C em \mathbb{R}^n é a matriz cujas colunas são as coordenadas, em relação à base C, dos vetores de B.

Passo 3

Ao tomar C=B, cada vetor b_i de B terá coordenadas (0,\dots,0,1,0,\dots,0) (com o 1 na i-ésima posição) em relação a B. Portanto as colunas da matriz de mudança de base são exatamente os vetores canônicos \mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n, o que gera a matriz identidade.

Resposta

Verdadeiro.

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