(B. & M.) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar e concorrência da parte elétrica é de
. Caso ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de
; caso contrário, essa probabilidade é de
.
os eventos ganhar o contrato elétrico e ganhar o contrato hidráulico
- são independentes? (justifique)
os eventos ganhar o contrato elétrico e ganhar o contrato hidráulico
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um empreiteiro que está concorrendo para dois contratos: um para a parte elétrica e outro para a parte de encanamento de um edifício. A probabilidade de ele ganhar o contrato elétrico é de $ \frac{1}{2} $. Se ele ganhar o contrato elétrico, a chance de ganhar o de encanamento é de $ \frac{3}{4} $. Caso contrário, essa chance cai para $ \frac{1}{3} $. A pergunta é: esses dois eventos (ganhar o contrato elétrico e o de encanamento) são independentes?
Para resolver, vamos precisar entender o conceito de independência de eventos na probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso é expresso como:
Se essa igualdade for verdadeira, os eventos são independentes; caso contrário, são dependentes.
Passo 3
Vamos identificar nossos eventos:
- A: Ganhar o contrato elétrico.
- B: Ganhar o contrato de encanamento.
Sabemos que:
Aqui, $ P(B|A) $ é a probabilidade de ganhar o encanamento dado que ganhou o elétrico, e $ P(B|\neg A) $ é a probabilidade de ganhar o encanamento dado que não ganhou o elétrico.
Passo 4
Para verificar a independência, precisamos calcular $ P(B) $, a probabilidade de ganhar o contrato de encanamento independentemente do elétrico.
Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Sabemos que $ P(\neg A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
Substituindo:
Para somar, vamos achar o denominador comum, que é 24:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(A) \times P(B) $:
Também podemos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ganhar ambos os contratos:
Convertendo para o mesmo denominador:
Passo 6
Agora, comparamos $ P(A \cap B) $ e $ P(A) \times P(B) $:
Como $ P(A \cap B) $ é diferente de $ P(A) \times P(B) $, isso significa que os eventos A e B não são independentes.
Resposta
Os eventos ganhar o contrato elétrico e o de encanamento não são independentes.