(B. & M.) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar e concorrência da parte elétrica é de 1 / 2. Caso ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de 3 / 4; caso contrário, essa probabilidade é de 1 / 3.
os eventos ganhar o contrato elétrico e ganhar o contrato hidráulico
  • são independentes? (justifique)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um empreiteiro que está concorrendo para dois contratos: um para a parte elétrica e outro para a parte de encanamento de um edifício. A probabilidade de ele ganhar o contrato elétrico é de $ \frac{1}{2} $. Se ele ganhar o contrato elétrico, a chance de ganhar o de encanamento é de $ \frac{3}{4} $. Caso contrário, essa chance cai para $ \frac{1}{3} $. A pergunta é: esses dois eventos (ganhar o contrato elétrico e o de encanamento) são independentes?
Para resolver, vamos precisar entender o conceito de independência de eventos na probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matemáticamente, isso é expresso como:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Se essa igualdade for verdadeira, os eventos são independentes; caso contrário, são dependentes.

Passo 3

Vamos identificar nossos eventos:
  • A: Ganhar o contrato elétrico.
  • B: Ganhar o contrato de encanamento.
Sabemos que:
P(A) = 12
P(B|A) = 34
P(B|neg A) = 13
Aqui, $ P(B|A) $ é a probabilidade de ganhar o encanamento dado que ganhou o elétrico, e $ P(B|\neg A) $ é a probabilidade de ganhar o encanamento dado que não ganhou o elétrico.

Passo 4

Para verificar a independência, precisamos calcular $ P(B) $, a probabilidade de ganhar o contrato de encanamento independentemente do elétrico.
Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(B)
Sabemos que $ P(\neg A) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
Substituindo:
P(B) = P(B|A) times P(A) + P(B|neg A) times P(neg A)
P(neg A) = 1 - P(A) = 1 - 12 = 12
Para somar, vamos achar o denominador comum, que é 24:
P(B) = ( 34 times 12 ) + ( 13 times 12 )

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(A) \times P(B) $:
P(A) times P(B)
Também podemos calcular $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ganhar ambos os contratos:
P(A) times P(B) = 12 times 1324 = 1348
Convertendo para o mesmo denominador:
P(A cap B)

Passo 6

Agora, comparamos $ P(A \cap B) $ e $ P(A) \times P(B) $:
P(A cap B)
Como $ P(A \cap B) $ é diferente de $ P(A) \times P(B) $, isso significa que os eventos A e B não são independentes.

Resposta

Os eventos ganhar o contrato elétrico e o de encanamento não são independentes.

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