(b) (1 ponto) Determine o volume do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0,1,1).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados claros:
  • Pede o volume do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0) e (0,1,1).
  • Vou chamar os vértices de A=(0,0,0), B=(1,1,0), C=(0,1,0) e D=(0,1,1).
  • Informações dadas (peguei-as diretamente do enunciado): coordenadas de A,B,C,D conforme acima.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Se um tetraedro tem um vértice na origem O=(0,0,0) e os outros três vértices são dados pelos vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 (ou seja, pontos \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 no espaço), então o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é \big|\det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\big|.
  • A relação entre paralelepípedo e tetraedro: o tetraedro formado por O,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 tem exatamente 1/6 do volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3. Uma maneira de ver isso é usar a fórmula geométrica do volume: volume do tetraedro = \tfrac{1}{3}\times área da base \times altura, escolher a base como o triângulo formado por dois vetores e repetir a conta, que leva a \tfrac{1}{6}|\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)|; isso é exatamente \tfrac{1}{6}|\det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)|.
  • Portanto, fórmula prática que usaremos:
\text{Volume(tetraedro)} = \frac{1}{6}\big|\det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\big|.
  • Aqui \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são vetores coluna com as coordenadas x,y,z dos três vértices não-origem, e \det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3) é o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são esses vetores. Vou aplicar isso ao nosso tetraedro com vértice na origem A=(0,0,0).

Passo 3

Escolher os vetores a partir da origem e montar a matriz:
  • Como A é a origem, os vetores que usamos são as coordenadas de B,C,D:
\mathbf{v}_1 = B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_2 = C = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_3 = D = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
  • A matriz cujas colunas são esses vetores é
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de M passo a passo:
  • Usando a expansão pela primeira linha (ou observando que a matriz tem duas entradas zero na primeira linha), temos
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots).
  • Agora compute o menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
  • Portanto
\det(M)=1\cdot 1 = 1.]

Passo 5

Aplicar a fórmula do volume usando o determinante obtido:
  • Pela fórmula do Passo 2,
\text{Volume}=\frac{1}{6}\big|\det(M)\big|=\frac{1}{6}\cdot 1.

Resposta

\dfrac{1}{6}