(b) (1 ponto) Determine o volume do tetraedro com vértices (0,0,0),(1,1,0),(0,1,0) e (0,1,1).
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados claros:
Pede o volume do tetraedro com vértices (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0) e (0,1,1).
Vou chamar os vértices de A=(0,0,0), B=(1,1,0), C=(0,1,0) e D=(0,1,1).
Informações dadas (peguei-as diretamente do enunciado): coordenadas de A,B,C,D conforme acima.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Se um tetraedro tem um vértice na origem O=(0,0,0) e os outros três vértices são dados pelos vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 (ou seja, pontos \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 no espaço), então o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é \big|\det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\big|.
A relação entre paralelepípedo e tetraedro: o tetraedro formado por O,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 tem exatamente 1/6 do volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3. Uma maneira de ver isso é usar a fórmula geométrica do volume: volume do tetraedro = \tfrac{1}{3}\times área da base \times altura, escolher a base como o triângulo formado por dois vetores e repetir a conta, que leva a \tfrac{1}{6}|\mathbf{v}_1\cdot(\mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3)|; isso é exatamente \tfrac{1}{6}|\det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)|.
Aqui \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 são vetores coluna com as coordenadas x,y,z dos três vértices não-origem, e \det(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3) é o determinante da matriz 3\times3 cujas colunas são esses vetores. Vou aplicar isso ao nosso tetraedro com vértice na origem A=(0,0,0).
Passo 3
Escolher os vetores a partir da origem e montar a matriz:
Como A é a origem, os vetores que usamos são as coordenadas de B,C,D:
\mathbf{v}_1 = B = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_2 = C = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_3 = D = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.