Se a + b = 8 e a . b = 5, quanto vale a0 + b0 = ? Use seus conhecimentos sobre produtos notáveis.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado do exercício nos diz que a soma de $ a $ e $ b $ é igual a 8, ou seja, $ a + b = 8 $, e o produto deles é 5, isto é, $ a \cdot b = 5 $. A matéria que vamos usar aqui são os produtos notáveis, que são fórmulas que facilitam o cálculo de expressões algébricas. Precisamos descobrir quanto vale $ a^2 + b^2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante dos produtos notáveis:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Esta fórmula nos ajuda a relacionar a soma e o produto de dois números com o quadrado deles.

Passo 3

Sabemos que $ a + b = 8 $. Vamos elevar ambos os lados dessa equação ao quadrado:
a + b = 8
(a + b)^2 = 8^2

Passo 4

Agora, usando a fórmula dos produtos notáveis que mencionei, substituímos na equação:
a^2 + 2ab + b^2 = 64

Passo 5

Sabemos também que $ a \cdot b = 5 $. Vamos substituir esse valor na equação:
a cdot b = 5
a^2 + 2(5) + b^2 = 64

Passo 6

Agora, vamos isolar $ a^2 + b^2 $:
a^2 + b^2
a^2 + b^2 = 64 - 10

Resposta

Portanto, $ a^2 + b^2 = 54 $.

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