b) No tempo
, o sistema está no estado
Qual é o estado
no tempo t ?. No tempo t é medida a componente z do momento angular; quais são as probabilidades dos resultados possíveis ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos diz que, no tempo $ t = 0 $, o sistema está no estado:
Nosso objetivo é descobrir qual será o estado $ |\Psi(t)\rangle $ desse sistema no tempo $ t $. Além disso, vamos calcular as probabilidades dos possíveis resultados ao medir a componente $ z $ do momento angular nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica como evolução temporal dos estados e cálculo de probabilidades de medições.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o estado quântico evolui com o tempo. Na mecânica quântica, a evolução temporal de um estado é dada pela aplicação do operador de evolução temporal:
Aqui, $ H $ é o Hamiltoniano do sistema, que descreve a energia total do sistema, e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Vamos assumir que os estados $ |+1\rangle $ e $ |-1\rangle $ são autovetores do Hamiltoniano $ H $, ou seja:
Com isso, a aplicação do operador de evolução temporal fica mais simples, porque quando aplicamos $ e^{-iHt/\hbar} $ a um autovetor do Hamiltoniano, simplesmente multiplicamos pelo fator de fase correspondente.
Passo 4
Aplicando o operador de evolução temporal ao estado inicial:
Esse é o estado do sistema no tempo $ t $.
Passo 5
Agora, queremos calcular as probabilidades de obtermos os valores possíveis ao medir a componente $ z $ do momento angular. Os possíveis resultados são os próprios valores $ +1 $ e $ -1 $.
A probabilidade de medir um valor específico é dada pelo quadrado do módulo do coeficiente correspondente no estado $ |\Psi(t)\rangle $.
Passo 6
Vamos calcular a probabilidade de medir $ +1 $:
Da mesma forma, a probabilidade de medir $ -1 $:
Resposta
O estado do sistema no tempo $ t $ é
As probabilidades dos resultados ao medir a componente $ z $ do momento angular são: