O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D} f_{F} \rho u^{2}=0
onde f_{F} é o fator de atrito de Fanning. Churchill { }^{11} fornece a seguinte expressão para f_{F} para o escoamento turbulento:
f_{F}=0,3305\left\{\ln \left[0,27 \frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\operatorname{Re}}\right)^{0,9}\right]\right\}^{-2}
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e \epsilon D é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para \mathrm{Re}>3.000.
Considere o escoamento de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine \dot{m} (em \mathrm{kg} \mathrm{s}^{-1} ) e \Delta P / \Delta L (em \mathrm{kPa} \mathrm{m}^{-1} ). Considere \epsilon / D=0,0001. Para a água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}, \rho=996 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}, e \mu=9,0 \times 10^{-4} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. Verifique se o escoamento é turbulento.
D=2 \mathrm{~cm}, u=5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar \dot{m} em \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
  • Determinar \Delta P/\Delta L em \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
  • Verificar se o escoamento é turbulento.
Informações e dados fornecidos:
  • Diâmetro: D=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média: u=5\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Rugosidade adimensional: \epsilon/D=0,0001.
  • Densidade da água a 25^\circ\mathrm{C}: \rho=996\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-1}}.
  • Fórmula para o fator de atrito de Fanning (Churchill) para escoamento turbulento:
f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\!\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2}.
  • Equação de balanço (tubo horizontal, seção constante):
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D}f_{F}\rho u^{2}=0.
O objetivo prático é: calcular a vazão mássica \dot{m}=\rho A u, verificar \mathrm{Re}=\dfrac{\rho u D}{\mu} para confirmar turbulência, calcular f_{F} via a fórmula dada e, por fim, calcular \Delta P/\Delta L usando a equação de balanço.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção transversal (para usar em \dot{m}).
  • Converter D para metros: D=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal de um tubo circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Calculemos:
D^{2}=(0{,}02)^{2}=0{,}0004, \qquad A=\frac{\pi\cdot 0{,}0004}{4}=\pi\cdot 0{,}0001\approx 0{,}000314159\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação didática: a fórmula A=\pi D^{2}/4 vem da área do círculo A=\pi r^{2} com r=D/2. Aqui usamos D direto porque é a forma prática para tubos.

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica Q e a vazão mássica \dot{m}.
  • Vazão volumétrica:
Q=A u \approx 0{,}000314159\cdot 5 = 0{,}001570796\\ \mathrm{m^{3}\\ s^{-1}}.
  • Vazão mássica:
\dot{m}=\rho Q=\rho A u.
Substituindo:
\dot{m}=996\cdot 0{,}001570796 \approx 1{,}5645128\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Didática: \dot{m} é simplesmente quanto de massa passa por uma seção por segundo; multiplicamos a densidade pelo volume que passa por segundo.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e verificar turbulência.
  • Fórmula do número de Reynolds para escoamento interno:
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{996\cdot 5\cdot 0{,}02}{9{,}0\times 10^{-4}}=\frac{99{,}6}{9{,}0\times 10^{-4}} \approx 110666{,}7.
Verificação de turbulência: o enunciado diz que escoamento turbulento ocorre para \mathrm{Re}>3{,}000. Como \mathrm{Re}\approx 1{,}1067\times 10^{5}, o escoamento é claramente turbulento.
Didática: \mathrm{Re} compara forças inerciais com viscosas; valores altos significam que inércia domina e o escoamento tende a ser turbulento.

Passo 5

Calcular o fator de atrito de Fanning f_{F} usando a expressão de Churchill passo a passo.
A expressão é
f_{F}=0{,}3305\left\{\ln\!\left[0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\right]\right\}^{-2}.
Vamos calcular cada parcela interna:
  • Primeiro termo: 0{,}27\frac{\epsilon}{D}. Como \epsilon/D=0{,}0001,
0{,}27\frac{\epsilon}{D}=0{,}27\times 0{,}0001=2{,}7\times 10^{-5}.
  • Segundo termo: \left(\dfrac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}. Com \mathrm{Re}\approx 110666{,}7,
\frac{7}{\mathrm{Re}}\approx \frac{7}{110666{,}7}\approx 6{,}3245\times 10^{-5}.
Agora elevar a 0{,}9:
\left(6{,}3245\times 10^{-5}\right)^{0{,}9}\approx 1{,}666\times 10^{-4}.
(Explicação do cálculo de potência: \\ a^{0{,}9}=\exp(0{,}9\ln a); para números muito pequenos o log é negativo, mas a potência é bem definida.)
  • Somando os termos dentro do logaritmo:
0{,}27\frac{\epsilon}{D}+\left(\frac{7}{\mathrm{Re}}\right)^{0{,}9}\approx 2{,}7\times 10^{-5}+1{,}666\times 10^{-4}=1{,}936\times 10^{-4}.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(1{,}936\times 10^{-4}\right)\approx -8{,}5501.
  • Agora elevar ao quadrado (com sinal negativo ao quadrado vira positivo) e aplicar o coeficiente:
\left[\ln(\cdots)\right]^{2}\approx (-8{,}5501)^{2}\approx 73{,}100,
f_{F}=0{,}3305\div 73{,}100\approx 0{,}004520.
Interpretação: f_{F} aqui é pequeno (da ordem de 10^{-3}- 10^{-2}), típico de escoamentos turbulentos em tubos relativamente lisos.

Passo 6

Calcular o gradiente de pressão \Delta P/\Delta L a partir da equação de balanço.
A equação fornecida é
\frac{\Delta P}{\Delta L}+\frac{2}{D}f_{F}\rho u^{2}=0.
Isolando \Delta P/\Delta L:
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-\frac{2}{D}f_{F}\rho u^{2}.
Substituir os valores numéricos:
  • u^{2}=5^{2}=25\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
  • \rho u^{2}=996\cdot 25=24900\\ \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-2}} = 24900\\ \mathrm{Pa}.
  • \dfrac{2}{D}=\dfrac{2}{0{,}02}=100\\ \mathrm{m^{-1}}.
Agora:
\frac{\Delta P}{\Delta L}=-100\cdot 0{,}004520\cdot 24900 \approx -11254{,}8\\ \mathrm{Pa\\ m^{-1}}.
Converter para \mathrm{kPa\\ m^{-1}} dividindo por 1000:
\frac{\Delta P}{\Delta L}\approx -11{,}2548\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.
Observação física: o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento (queda de pressão). Em muitas aplicações interessa o módulo da queda, 11{,}25\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}.

Resposta

\dot{m}=1{,}5645\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}
\dfrac{\Delta P}{\Delta L}=-11{,}2548\\ \mathrm{kPa\\ m^{-1}}

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