O balanço de energia mecânica fornece uma base para a estimativa da queda de pressão em um escoamento em virtude do atrito. Para o escoamento estacionário de um fluido incompressível em um tubo horizontal com a área da seção transversal constante, ele pode ser escrito na forma
onde
é o fator de atrito de Fanning. Churchill
fornece a seguinte expressão para
para o escoamento turbulento:
onde Re é o número de Reynolds (ver Problema 2.21), e
é a rugosidade adimensional da tubulação. O escoamento turbulento é obtido para
.
Considere o escoamento de água líquida a
. Para um dos conjuntos de condições fornecidos a seguir, determine
(em
) e
(em
). Considere
. Para a água líquida a
,
, e
. Verifique se o escoamento é turbulento.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar
em . - Determinar
em . - Verificar se o escoamento é turbulento.
Informações e dados fornecidos:
- Diâmetro:
. - Velocidade média:
. - Rugosidade adimensional:
. - Densidade da água a
: . - Viscosidade dinâmica:
. - Fórmula para o fator de atrito de Fanning (Churchill) para escoamento turbulento:
- Equação de balanço (tubo horizontal, seção constante):
O objetivo prático é: calcular a vazão mássica
, verificar
para confirmar turbulência, calcular
via a fórmula dada e, por fim, calcular
usando a equação de balanço.
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção transversal (para usar em
).
- Converter
para metros: . - Área da seção transversal de um tubo circular:
Calculemos:
Explicação didática: a fórmula
vem da área do círculo
com
. Aqui usamos
direto porque é a forma prática para tubos.
Passo 3
Calcular a vazão volumétrica
e a vazão mássica
.
- Vazão volumétrica:
- Vazão mássica:
Substituindo:
Didática:
é simplesmente quanto de massa passa por uma seção por segundo; multiplicamos a densidade pelo volume que passa por segundo.
Passo 4
Calcular o número de Reynolds e verificar turbulência.
- Fórmula do número de Reynolds para escoamento interno:
Substituindo os valores:
Verificação de turbulência: o enunciado diz que escoamento turbulento ocorre para
. Como
, o escoamento é claramente turbulento.
Didática:
compara forças inerciais com viscosas; valores altos significam que inércia domina e o escoamento tende a ser turbulento.
Passo 5
Calcular o fator de atrito de Fanning
usando a expressão de Churchill passo a passo.
A expressão é
A expressão é
Vamos calcular cada parcela interna:
- Primeiro termo:
. Como ,
- Segundo termo:
. Com ,
Agora elevar a
:
(Explicação do cálculo de potência:
; para números muito pequenos o log é negativo, mas a potência é bem definida.)
- Somando os termos dentro do logaritmo:
- Logaritmo natural:
- Agora elevar ao quadrado (com sinal negativo ao quadrado vira positivo) e aplicar o coeficiente:
Interpretação:
aqui é pequeno (da ordem de
-
), típico de escoamentos turbulentos em tubos relativamente lisos.
Passo 6
Calcular o gradiente de pressão
a partir da equação de balanço.
A equação fornecida é
A equação fornecida é
Isolando
:
Substituir os valores numéricos:
-
. -
. -
.
Agora:
Converter para
dividindo por
:
Observação física: o sinal negativo indica que a pressão diminui no sentido do escoamento (queda de pressão). Em muitas aplicações interessa o módulo da queda,
.