(Balanço de entropia em sistema fechado) Um tanque rígido e isolado termicamente (adiabático) contém 2 kg de água a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. Uma roda de pás realiza trabalho de agitação sobre a água até que sua temperatura atinja 50^{\circ} \mathrm{C}. A capacidade calorífica da água é c_{p}=4,18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e o volume pode ser considerado constante.
(a) Determine o trabalho realizado pela roda de pás.
(b) Calcule a variação de entropia da água.
(c) Sabendo que o tanque é adiabático, qual é a geração de entropia no processo? O processo é reversível ou irreversível? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado). Dados fornecidos:
  • massa da água: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • temperatura inicial: T_1=20^{\circ}\mathrm{C}.
  • temperatura final: T_2=50^{\circ}\mathrm{C}.
  • pressão inicial: 1\\ \mathrm{bar} (não será necessária para os cálculos porque o volume é constante e trata-se de líquido).
  • capacidade calorífica (assumida constante): c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • tanque rígido e adiabático (volume constante e sem troca de calor com o ambiente).
    O enunciado pede:
    (a) determinar o trabalho realizado pela roda de pás;
    (b) calcular a variação de entropia da água;
    (c) determinar a geração de entropia no processo e dizer se o processo é reversível ou irreversível, com justificativa.

Passo 2

Primeira lei para sistema fechado (controle de massa): escrever a expressão geral e simplificar com as condições do problema.
Explicando devagar: a primeira lei para sistema fechado, desprezando variações de energia cinética e potencial, pode ser escrita como
\Delta U = Q - W_{\text{b}} + W_{\text{shaft}},
onde
  • \Delta U é a variação de energia interna do sistema (água),
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo se entra),
  • W_{\text{b}} é o trabalho de fronteira (por exemplo P\,\Delta V, positivo quando o sistema faz trabalho),
  • W_{\text{shaft}} é o trabalho feito por um dispositivo externo sobre o sistema (positivo quando entra energia por agitação).
No nosso caso:
  • o tanque é adiabático \Rightarrow Q=0,
  • o tanque é rígido \Rightarrow \Delta V=0 \Rightarrow W_{\text{b}}=0.
    Assim a expressão reduz-se a
\Delta U = W_{\text{shaft}}.
Ou seja: a energia interna da água aumenta exatamente pela energia entregue pela roda de pás. Portanto o trabalho realizado pela roda sobre a água é igual à variação de energia interna.

Passo 3

Relacionar variação de energia interna com a variação de temperatura para a água líquida.
Explicando o conceito: para líquidos incompressíveis, a variação de energia interna por unidade de massa pode ser aproximada por c\:\Delta T, onde c é a capacidade calorífica (aproximadamente igual a c_p para líquidos). Assim:
\Delta U = m\,c_p\,(T_2-T_1).
Aqui:
  • m é a massa (kg),
  • c_p é a capacidade calorífica (kJ/(kg·K)),
  • T_1, T_2 são temperaturas em Kelvin (ou em Celsius desde que se use \Delta T que é igual em K ou °C).

Passo 4

Calcular numericamente o trabalho usando a fórmula do passo anterior.
Primeiro calcular \Delta T:
T_2-T_1 = 50^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C}=30\\ \mathrm{K}.
Agora calcular \Delta U (que é igual a W_{\text{shaft}}):
W_{\text{shaft}}=\Delta U = m\,c_p\,(T_2-T_1)=2\cdot 4{,}18\cdot 30\\ \mathrm{kJ}.
Fazendo a conta:
W_{\text{shaft}}=2\cdot 4{,}18\cdot 30 = 250{,}8\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação de sinal: esse valor é o trabalho realizado pela roda sobre a água (energia entrando no sistema), portanto 250{,}8\\ \mathrm{kJ} de trabalho foram fornecidos à água.

Passo 5

Escrever a expressão para a variação de entropia e explicar a ideia física.
Regra básica (segunda lei, definição de entropia para sistema fechado): a variação de entropia de um sistema entre dois estados pode ser obtida por um percurso reversível imaginário:
\Delta S = \int_{1}^{2}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para a água líquida, se assumimos c_p constante, a troca reversível elementar de calor corresponde a \delta Q_{\text{rev}}=m\,c_p\,dT. Assim:
\Delta S = m\,c_p\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T} = m\,c_p\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Observação importante sobre temperaturas: ao usar logaritmo de razão de temperaturas, é obrigatório usar a escala absoluta (Kelvin). Portanto converter T_1 e T_2 para Kelvin:
T_1=20^{\circ}\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2=50^{\circ}\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular numericamente a variação de entropia usando a fórmula do passo anterior.
Calcular a razão:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{323{,}15}{293{,}15}\approx 1{,}10236.
Tomando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 0{,}097553.
Agora:
\Delta S = m\,c_p\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=2\cdot 4{,}18\cdot 0{,}097553\\ \mathrm{kJ/K}.
Fazendo a multiplicação:
\Delta S \approx 0{,}8157\\ \mathrm{kJ/K}\approx 0{,}816\\ \mathrm{kJ/K}.
Em unidades mais usuais:
\Delta S \approx 816\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Determinar a geração de entropia e concluir sobre reversibilidade.
Escrever o balanço de entropia para sistema fechado:
\Delta S_{\text{system}} = S_{\text{gen}} + \int\frac{\delta Q}{T_{\text{b}}},
onde \int\delta Q/T_{\text{b}} é a entropia transferida por calor (com T_{\text{b}} temperatura da fronteira/reservatório). No nosso caso o tanque é adiabático, logo \delta Q=0 e o termo de transferência de entropia por calor é zero. Assim:
S_{\text{gen}} = \Delta S_{\text{system}}.
Logo
S_{\text{gen}} = 0{,}816\\ \mathrm{kJ/K}.
Como S_{\text{gen}}>0, o processo é irreversível. Explicação física curta: a energia mecânica fornecida pela roda é dissipada internamente (efeitos viscosos, atrito entre camadas, etc.) e gera entropia; num processo reversível não haveria geração de entropia (teria S_{\text{gen}}=0), o que não é o caso aqui.

Passo 8

Resumo motivador: foi só aplicar duas ideias-chave com calma — conservação de energia para o trabalho e a definição integral de entropia — e pronto: números na mão. Força aí na prova, isso cai direto quando pedem processos de agitação em sistema fechado!

Resposta

(a) W_{\text{roda}}=250{,}8\\ \mathrm{kJ}
(b) \Delta S_{\text{água}}=0{,}816\\ \mathrm{kJ/K}=816\\ \mathrm{J/K}á
(c) S_{\text{gen}}=0{,}816\\ \mathrm{kJ/K}; processo irreversível (pois S_{\text{gen}}>0).

Exercícios relacionados