3.8 Um balão murcho está ligado, através de uma válvula, a um tanque que contém o gás hélio a 1 MPa e 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do ambiente também é 20^{\circ} \mathrm{C}. A válvula é então aberta e o balão é inflado a pressão constante de 100 kPa (pressão ambiente) até que ele se torna esférico \operatorname{com} D_{1}=1 \mathrm{~m}. Acima desse tamanho, a elasticidade do material do balão é tal que a pressão interna é dada por:
p=p_{0}+C\left(1-\frac{D_{1}}{D}\right) \frac{D_{1}}{D}
Esse balão deve ser inflado vagarosamente até um diâmetro final de 4 m , quando a pressão interna atinge 400 kPa . Admitindo que o processo seja isotérmico, determine o volume mínimo do tanque de hélio para encher este balão.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue.
  • Estado inicial do gás no tanque: pressão \,1\\ \text{MPa}\, e temperatura \,20^\circ\text{C}\,.
  • Temperatura do processo (tanque + balão): constante (isotérmico) e igual a \,20^\circ\text{C}\,.
  • O balão, inicialmente murcho, é ligado ao tanque por uma válvula e é inflado. Enquanto o balão cresce até diâmetro \,D_1=1\\ \text{m}\, a pressão interna é a pressão ambiente \,100\\ \text{kPa}\,.
  • Para diâmetros maiores que \,D_1 a pressão interna é dada por
p = p_0 + C\left(1-\frac{D_1}{D}\right)\frac{D_1}{D},
sendo p_0 a pressão quando D=D_1.
  • O balão é inflado vagarosamente até o diâmetro final \,D=4\\ \text{m}\,, quando a pressão interna atinge \,400\\ \text{kPa}\,.
  • O que se pede: determinar o volume mínimo do tanque de hélio necessário para encher o balão até \,D=4\\ \text{m}\, no processo descrito.

Passo 2

Interpretações imediatas e dados numéricos úteis (pegos do enunciado):
  • A pressão ambiente é \,100\\ \text{kPa}\,. Como p_0 é a pressão interna no instante em que D=D_1, conclui-se que
p_0 = 100\\ \text{kPa}.
  • Pressão inicial no tanque:
p_{\text{init}} = 1\\ \text{MPa} = 1000\\ \text{kPa}.
  • Pressão final (quando D=4\\ \text{m}):
p_{\text{final}} = 400\\ \text{kPa}.
  • Diâmetro final do balão:
D_{\text{final}} = 4\\ \text{m}.

Passo 3

Princípio físico e equação que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas).
  • Para um gás ideal em processo isotérmico, a quantidade de gás (número de mols) é proporcional a \,pV\, porque \,pV = nRT\, e a temperatura e R são constantes. Logo, para a massa (ou número de mols) total de hélio em um sistema fechado podemos usar a relação direta entre pressões e volumes.
  • No nosso sistema, antes de abrir a válvula todo o hélio está no tanque; o volume do balão é desprezível inicialmente. Após a abertura e inflação lenta, ao final parte do gás está ainda no tanque e parte no balão. Enquanto a válvula estiver aberta e não houver desníveis de pressão entre os dois, a pressão no tanque é igual à pressão dentro do balão ao longo do processo (processo quase-estático).
  • Portanto, aplicando conservação do número de mols (ou massa) do hélio entre estado inicial e final, e usando que a temperatura é constante, obtemos a relação
p_{\text{init}} V_{\text{tanque}} = p_{\text{final}} \bigl(V_{\text{tanque}} + V_{\text{balão, final}}\bigr).ã
Esta equação diz: o produto inicial pV (todo no tanque) é igual ao produto final pV do gás que permanece no tanque mais o gás que ficou no balão (ambos à mesma pressão final).

Passo 4

Isolando o volume do tanque a partir da equação de conservação:
  • Rearranjando
p_{\text{init}} V_{\text{tanque}} = p_{\text{final}} V_{\text{tanque}} + p_{\text{final}} V_{\text{balão, final}}ã
\Rightarrow (p_{\text{init}} - p_{\text{final}})\,V_{\text{tanque}} = p_{\text{final}}\,V_{\text{balão, final}}ã
\Rightarrow V_{\text{tanque}} = \frac{p_{\text{final}}\,V_{\text{balão, final}}}{p_{\text{init}} - p_{\text{final}}}.ã
Essa fórmula é simples e intuitiva: quanto maior o volume do balão final e maior a pressão final exigida, maior o tanque; quanto maior a pressão inicial disponível no tanque, menor precisa ser o tanque.

Passo 5

Calculando o volume do balão final e substituindo números (contas detalhadas para fazer na prova sem calculadora).
  • Volume de uma esfera em função do diâmetro D:
V = \frac{\pi}{6} D^3.
  • Para \,D_{\text{final}}=4\\ \text{m}\, temos
V_{\text{balão, final}} = \frac{\pi}{6}\,(4)^3 = \frac{\pi}{6}\cdot 64 = \frac{64\pi}{6} = \frac{32\pi}{3}\\ \text{m}^3.ã
Se quiser aproximar numericamente, use \pi \approx 3{,}1416:
V_{\text{balão, final}} \approx \frac{32}{3}\cdot 3{,}1416 \approx 10{,}6667\cdot 3{,}1416 \approx 33{,}510\\ \text{m}^3.ã
  • Agora usar a fórmula do Passo 4 com \,p_{\text{init}}=1000\\ \text{kPa}\, e \,p_{\text{final}}=400\\ \text{kPa}\,:
V_{\text{tanque}} = \frac{400\\ \text{kPa}\times V_{\text{balão, final}}}{1000\\ \text{kPa} - 400\\ \text{kPa}} = \frac{400}{600}\,V_{\text{balão, final}} = \frac{2}{3}\,V_{\text{balão, final}}.ããã
  • Substituindo V_{\text{balão, final}}ã numérico:
V_{\text{tanque}} \approx \frac{2}{3}\times 33{,}510\\ \text{m}^3 \approx 22{,}340\\ \text{m}^3.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida (ânimo — já estamos quase lá).
  • O resultado significa que, partindo de \,1\\ \text{MPa}\, e temperatura constante, um tanque com volume de aproximadamente \,22{,}34\\ \text{m}^3\, contém gás suficiente para inflar o balão até \,D=4\\ \text{m}\, quando a pressão final do balão/tanque for \,400\\ \text{kPa}\,.
  • Verificação de consistência: o volume do tanque calculado é menor que o volume do balão final porque a pressão inicial no tanque é maior que a pressão final; por isso uma massa relativamente menor de gás no tanque (por seu alto \,p_{\text{init}}\,) expande para ocupar o volume maior do balão a pressão menor. Tudo consistente — bom trabalho, falta pouco para a prova!

Resposta

V_{\text{tanque}}\approx 22{,}34\\ \text{m}^3

Exercícios relacionados