3.8 Um balão murcho está ligado, através de uma válvula, a um tanque que contém o gás hélio a 1 MPa e
. A temperatura do ambiente também é
. A válvula é então aberta e o balão é inflado a pressão constante de 100 kPa (pressão ambiente) até que ele se torna esférico
. Acima desse tamanho, a elasticidade do material do balão é tal que a pressão interna é dada por:
Esse balão deve ser inflado vagarosamente até um diâmetro final de 4 m , quando a pressão interna atinge 400 kPa . Admitindo que o processo seja isotérmico, determine o volume mínimo do tanque de hélio para encher este balão.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que segue.
- Estado inicial do gás no tanque: pressão
e temperatura . - Temperatura do processo (tanque + balão): constante (isotérmico) e igual a
. - O balão, inicialmente murcho, é ligado ao tanque por uma válvula e é inflado. Enquanto o balão cresce até diâmetro
a pressão interna é a pressão ambiente . - Para diâmetros maiores que
a pressão interna é dada por
sendo
a pressão quando
.
- O balão é inflado vagarosamente até o diâmetro final
, quando a pressão interna atinge . - O que se pede: determinar o volume mínimo do tanque de hélio necessário para encher o balão até
no processo descrito.
Passo 2
Interpretações imediatas e dados numéricos úteis (pegos do enunciado):
- A pressão ambiente é
. Como é a pressão interna no instante em que , conclui-se que
- Pressão inicial no tanque:
- Pressão final (quando
):
- Diâmetro final do balão:
Passo 3
Princípio físico e equação que vamos usar (aulas rápidas, sem pular etapas).
- Para um gás ideal em processo isotérmico, a quantidade de gás (número de mols) é proporcional a
porque e a temperatura e são constantes. Logo, para a massa (ou número de mols) total de hélio em um sistema fechado podemos usar a relação direta entre pressões e volumes. - No nosso sistema, antes de abrir a válvula todo o hélio está no tanque; o volume do balão é desprezível inicialmente. Após a abertura e inflação lenta, ao final parte do gás está ainda no tanque e parte no balão. Enquanto a válvula estiver aberta e não houver desníveis de pressão entre os dois, a pressão no tanque é igual à pressão dentro do balão ao longo do processo (processo quase-estático).
- Portanto, aplicando conservação do número de mols (ou massa) do hélio entre estado inicial e final, e usando que a temperatura é constante, obtemos a relação
Esta equação diz: o produto inicial
(todo no tanque) é igual ao produto final
do gás que permanece no tanque mais o gás que ficou no balão (ambos à mesma pressão final).
Passo 4
Isolando o volume do tanque a partir da equação de conservação:
- Rearranjando
Essa fórmula é simples e intuitiva: quanto maior o volume do balão final e maior a pressão final exigida, maior o tanque; quanto maior a pressão inicial disponível no tanque, menor precisa ser o tanque.
Passo 5
Calculando o volume do balão final e substituindo números (contas detalhadas para fazer na prova sem calculadora).
- Volume de uma esfera em função do diâmetro
:
- Para
temos
Se quiser aproximar numericamente, use
:
- Agora usar a fórmula do Passo 4 com
e :
- Substituindo
numérico:
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida (ânimo — já estamos quase lá).
- O resultado significa que, partindo de
e temperatura constante, um tanque com volume de aproximadamente contém gás suficiente para inflar o balão até quando a pressão final do balão/tanque for . - Verificação de consistência: o volume do tanque calculado é menor que o volume do balão final porque a pressão inicial no tanque é maior que a pressão final; por isso uma massa relativamente menor de gás no tanque (por seu alto
) expande para ocupar o volume maior do balão a pressão menor. Tudo consistente — bom trabalho, falta pouco para a prova!