1. Um balão sobe verticalmente com uma velocidade v e um observador, a certa distância d, vê o balão sob um ângulo de levação \theta. Ache uma expressão para a taxa \frac{d \theta}{d t} de variação de \theta em termos de v, \theta e d. A que velocidade sobe o balão se d=500 \mathrm{~m} e \frac{d \theta}{d t}=0,02 \mathrm{rad} / s, quando \theta=\pi / 4 \mathrm{rad}.

Passo 1

O enunciado descreve um balão subindo verticalmente com velocidade constante v. Um observador está a uma distância horizontal fixa d da trajetória do balão e mede o ângulo de elevação \theta entre a horizontal e a linha de visão até o balão. Queremos (1) achar uma expressão para \frac{d\theta}{dt} em função de v, \theta e d, e (2) usar essa expressão para determinar v quando d=500 m, \frac{d\theta}{dt}=0,02 rad/s e \theta=\pi/4 rad.

Passo 2

Vamos chamar de y(t) a altura do balão no instante t. A relação trigonométrica entre \theta, y e d é
\tan(\theta)=\frac{y}{d}.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a t, usando que \frac{dy}{dt}=v e a derivada de \tan(\theta) é \operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}, obtemos
\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{d}\,\frac{dy}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{v}{d}.

Passo 4

Isolando \frac{d\theta}{dt} e lembrando que \operatorname{sec}^2(\theta)=1/\cos^2(\theta), resulta
\frac{d\theta}{dt} =\frac{v}{d}\,\cos^2(\theta).

Passo 5

Para descobrir v no caso numérico, invertemos a fórmula:
v =\frac{d}{\cos^2(\theta)}\;\frac{d\theta}{dt}.
Substituindo d=500 m, \frac{d\theta}{dt}=0,02 rad/s e \theta=\pi/4 (logo \cos^2(\pi/4)=\tfrac12), vem
v = \frac{500}{\tfrac12}\times 0.02 =1000\times 0.02 =20\\ \text{m/s}.

Resposta

A expressão geral é
\frac{d\theta}{dt}=\frac{v}{d}\,\cos^2(\theta),
e, para d=500 m, \tfrac{d\theta}{dt}=0,02 rad/s e \theta=\pi/4, o balão sobe com velocidade
v=20\\ \text{m/s}.

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