Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
-
A bandeira tem
listras (ordenadas de cima para baixo, por exemplo). -
Só podemos usar as cores: verde, azul e cinza — isto é,
cores no total. -
Cada listra recebe exatamente uma cor.
-
Listras adjacentes não podem ter a mesma cor (ou seja, qualquer listra deve ter cor diferente da listra imediatamente anterior e seguinte).
Pergunta: de quantos modos diferentes podemos colorir a bandeira respeitando essas regras?
Passo 2
Ideia básica (princípio multiplicativo): quando um processo é feito em etapas e cada etapa tem um número fixo de opções dependendo apenas das escolhas anteriores, o número total de resultados é o produto do número de opções em cada etapa. Vou usar isso de forma concreta para as
listras.
Passo 3
Escolha da primeira listra: como não há restrição vinda de uma listra anterior, a primeira listra pode ser colorida com qualquer uma das
cores. Logo, existem
opções para a listra
.
Escolha das listras seguintes: para cada listra a partir da segunda, a única restrição é que sua cor não pode ser igual à da listra imediatamente anterior. Como há
cores no total e exatamente
delas está proibida (a cor usada na listra anterior), sobram
cores possíveis para cada listra subsequente. Portanto, para a listra
há
opções; para a listra
também
opções (dependendo só da listra
), e assim por diante até a listra
.
Passo 4
Aplicando o princípio multiplicativo: multiplicamos as opções de cada etapa.
-
Primeira listra:
opções. -
Cada uma das outras
listras: opções cada.
Logo o número total de coloridos válidos é
Explicação alternativa e fórmula geral (para fixar o raciocínio): se
é o número de maneiras de colorir
listras com essas regras, então ao adicionar uma listra no final cada configuração válida de
listras dá origem a exatamente
configurações válidas de
listras (escolhendo uma das duas cores diferentes da última), portanto
Resolvendo essa recorrência obtemos
e para
recuperamos
, consistindo com o raciocínio anterior.
Passo 5
Cálculo numérico final: \n
portanto
Como checagem rápida: para
dá
, para
dá
, para
dá
— a sequência dobra a cada aumento de uma listra, o que confirma a fórmula e a intuição.