Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • A bandeira tem 7 listras (ordenadas de cima para baixo, por exemplo).
  • Só podemos usar as cores: verde, azul e cinza — isto é, 3 cores no total.
  • Cada listra recebe exatamente uma cor.
  • Listras adjacentes não podem ter a mesma cor (ou seja, qualquer listra deve ter cor diferente da listra imediatamente anterior e seguinte).
Pergunta: de quantos modos diferentes podemos colorir a bandeira respeitando essas regras?

Passo 2

Ideia básica (princípio multiplicativo): quando um processo é feito em etapas e cada etapa tem um número fixo de opções dependendo apenas das escolhas anteriores, o número total de resultados é o produto do número de opções em cada etapa. Vou usar isso de forma concreta para as 7 listras.

Passo 3

Escolha da primeira listra: como não há restrição vinda de uma listra anterior, a primeira listra pode ser colorida com qualquer uma das 3 cores. Logo, existem 3 opções para a listra 1.
Escolha das listras seguintes: para cada listra a partir da segunda, a única restrição é que sua cor não pode ser igual à da listra imediatamente anterior. Como há 3 cores no total e exatamente 1 delas está proibida (a cor usada na listra anterior), sobram 2 cores possíveis para cada listra subsequente. Portanto, para a listra 2 2 opções; para a listra 3 também 2 opções (dependendo só da listra 2), e assim por diante até a listra 7.

Passo 4

Aplicando o princípio multiplicativo: multiplicamos as opções de cada etapa.
  • Primeira listra: 3 opções.
  • Cada uma das outras 6 listras: 2 opções cada.
Logo o número total de coloridos válidos é
3 \cdot 2^{6}.
Explicação alternativa e fórmula geral (para fixar o raciocínio): se a_n é o número de maneiras de colorir n listras com essas regras, então ao adicionar uma listra no final cada configuração válida de n-1 listras dá origem a exatamente 2 configurações válidas de n listras (escolhendo uma das duas cores diferentes da última), portanto
a_n = 2\,a_{n-1},\qquad a_1=3.
Resolvendo essa recorrência obtemos
a_n = 3\cdot 2^{\,n-1},
e para n=7 recuperamos 3\cdot 2^{6}, consistindo com o raciocínio anterior.

Passo 5

Cálculo numérico final: \n
2^{6}=64,
portanto
3\cdot 2^{6}=3\cdot 64=192.
Como checagem rápida: para n=1 3, para n=2 6, para n=3 12 — a sequência dobra a cada aumento de uma listra, o que confirma a fórmula e a intuição.

Resposta

192