Ar a 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} é comprimido até 5 bar e 25^{\circ} \mathrm{C}, através de dois diferentes processos mecanicamente reversíveis.
Calcule o calor e o trabalho necessários, e \Delta U e \Delta H do ar para cada trajetória. As capacidades caloríficas do ar a seguir podem ser consideradas independentes da temperatura \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=20,78 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K} e \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=29,10 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}. admita também para o ar que \mathrm{PV} / \mathrm{T} é uma constante, independente das mudanças pelas quais ele passe. A 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar o volume molar do ar é de 0,02479 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol}.
Resfriamento a pressão constante seguido por aquecimento a volume constante.

Passo 1

O enunciado dá um mol de ar (vamos trabalhar por mol) que passa do estado inicial para o final:
P_1=1\\ \text{bar},\quad T_1=25^\circ\text{C}=298{,}15\\ \text{K},\quad V_{1}=0{,}02479\\ \text{m}^3/\text{mol},
P_2=5\\ \text{bar},\quad T_2=25^\circ\text{C}=298{,}15\\ \text{K}.
Capacidades molares (assumidas constantes):
C_V=20{,}78\\ \text{J/mol·K},\qquad C_P=29{,}10\\ \text{J/mol·K}.
Também nos dizem que \dfrac{PV}{T}= constante (comportamento de gás ideal).
A trajetória pedida é: primeiro resfriamento à pressão constante P=1 bar (de T_1 até uma temperatura intermediária T_a), e em seguida aquecimento a volume constante (isochoricamente) até a temperatura final T_2 — de modo a chegar em P_2=5 bar e T_2=298{,}15 K.
O que precisamos calcular (por mol): o calor Q e o trabalho W para cada etapa e os totais, e também \Delta U e \Delta H para a transformação completa. Adoto a convenção usual: W é o trabalho feito pelo sistema; portanto trabalho sobre o sistema será negativo.

Passo 2

Primeiro calculo algumas constantes e a temperatura intermediária T_a.
  1. O gás ideal implica R=C_P-C_V. Assim
R=29{,}10-20{,}78=8{,}32\\ \text{J/mol·K}.
  1. Determinar T_a (temperatura ao fim do resfriamento isobárico). No trecho isocórico que vem depois temos a relação P\propto T (V constante), então
\frac{P_2}{P_{\text{isoch start}}}=\frac{T_2}{T_a}.
Como o resfriamento foi isobárico à pressão inicial, P_{\text{isoch start}}=P_1=1 bar. Logo
\frac{5}{1}=\frac{T_2}{T_a}\quad\Rightarrow\quad T_a=\frac{T_2}{5}.
Numericamente,
T_a=\frac{298{,}15}{5}=59{,}63\\ \text{K}.
  1. Volume após o resfriamento isobárico (a pressão é P_1, então V\propto T):
V_a=V_1\frac{T_a}{T_1}=V_1\frac{1}{5}=0{,}02479\times\frac{1}{5}=0{,}004958\\ \text{m}^3/\text{mol}.

Passo 3

Análise da etapa 1 — resfriamento isobárico (de T_1=298{,}15 K até T_a=59{,}63 K) a P=1 bar.
Explico as fórmulas:
  • Trabalho em processo isobárico (por mol), com W trabalho feito pelo sistema:
W_{(1)}=\int_{V_1}^{V_a}P\,dV=P\,(V_a-V_1).
Usando a equação de estado ideal P\,\Delta V=nR\Delta T (aqui n=1 mol), podemos escrever
W_{(1)}=R\,(T_a-T_1).
  • Calor em processo isobárico (por mol):
Q_{(1)}=C_P\,(T_a-T_1).
Agora os cálculos numéricos:
\Delta T_{(1)}=T_a-T_1=59{,}63-298{,}15=-238{,}52\\ \text{K}.
W_{(1)}=8{,}32\times(-238{,}52)=-1984{,}49\\ \text{J/mol}.
Q_{(1)}=29{,}10\times(-238{,}52)=-6940{,}93\\ \text{J/mol}.
Interpretação: W_{(1)}<0 significa que trabalho foi feito sobre o gás (comprimeu-se o volume), e Q_{(1)}<0 indica calor liberado pelo gás (resfriamento).

Passo 4

Análise da etapa 2 — aquecimento isocórico (volume constante V_a) de T_a=59{,}63 K até T_2=298{,}15 K, que aumenta a pressão de 1 bar até 5 bar.
Fórmulas:
  • Em processo isocórico, W_{(2)}=0 porque \Delta V=0.
  • Calor em processo isocórico (por mol):
Q_{(2)}=C_V\,(T_2-T_a).
Cálculos:
\Delta T_{(2)}=T_2-T_a=298{,}15-59{,}63=238{,}52\\ \text{K}.
Q_{(2)}=20{,}78\times238{,}52=4956{,}55\\ \text{J/mol}.
W_{(2)}=0\\ \text{J/mol}.

Passo 5

Resultados totais e verificação da primeira lei; cálculo de \Delta U e \Delta H.
Soma dos calores e trabalhos (por mol):
Q_{\text{total}}=Q_{(1)}+Q_{(2)}=-6940{,}93+4956{,}55=-1984{,}38\\ \text{J/mol}.
W_{\text{total}}=W_{(1)}+W_{(2)}=-1984{,}49+0=-1984{,}49\\ \text{J/mol}.
(As pequenas diferenças entre Q_{\text{total}} e W_{\text{total}} vêm de arredondamentos; teoricamente para gás ideal, com T_2=T_1, tem-se Q_{\text{total}}=W_{\text{total}}=R\,(T_a-T_1)=-1984{,}49\\ \text{J/mol}.)
Agora \Delta U e \Delta H para a transformação completa: para um gás ideal as energias interna e entalpia dependem apenas da temperatura, logo
\Delta U = C_V\,(T_2-T_1)=C_V\times 0 = 0\\ \text{J/mol},
\Delta H = C_P\,(T_2-T_1)=C_P\times 0 = 0\\ \text{J/mol}.
Verificação pela primeira lei: \Delta U = Q_{\text{total}} - W_{\text{total}} \Rightarrow 0\approx -1984{,}38 -(-1984{,}49) (zero dentro de erros de arredondamento) — consistente.
Resumo físico: a transformação final tem temperatura igual à inicial, portanto não há variação de energia interna nem de entalpia; porém trabalho total e calor total são ambos negativos (o processo completo libera calor e recebe trabalho líquido do exterior).

Resposta

Q_{\text{isob}}=Q_{(1)}=-6940{,}93\\ \text{J/mol}
W_{\text{isob}}=W_{(1)}=-1984{,}49\\ \text{J/mol}
Q_{\text{isoch}}=Q_{(2)}=4956{,}55\\ \text{J/mol}
W_{\text{isoch}}=W_{(2)}=0\\ \text{J/mol}
Q_{\text{total}}=-1984{,}49\\ \text{J/mol}
W_{\text{total}}=-1984{,}49\\ \text{J/mol}
\Delta U=0\\ \text{J/mol}
\Delta H=0\\ \text{J/mol}

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