Ar a 1 bar e
é comprimido até 5 bar e
, através de dois diferentes processos mecanicamente reversíveis.
Calcule o calor e o trabalho necessários, e
e
do ar para cada trajetória. As capacidades caloríficas do ar a seguir podem ser consideradas independentes da temperatura
e
. admita também para o ar que
é uma constante, independente das mudanças pelas quais ele passe. A
e 1 bar o volume molar do ar é de
.
Aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante
Calcule o calor e o trabalho necessários, e
Aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos.
- Pedido: para o ar comprimido reversivelmente de
e até e calcule o calor , o trabalho , e para duas trajetórias reversíveis diferentes. Uma das trajetórias é explicitamente: aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante. A outra trajetória que vamos comparar é a compressão isotérmica reversível (pois ambos os estados inicial e final têm a mesma temperatura, a compressão isotérmica é a escolha natural e simples para uma trajetória reversível). - Dados (por mol):
- Observação: assumimos gás ideal com
constante. Para consistência com os e dados, usaremos - Convenção de sinais (importante!): vou usar a forma da 1ª lei
onde é o trabalho feito SOBRE o sistema (isto é, quando trabalho é feito sobre o gás). Com essa convenção, para um processo de compressão normalmente.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo-a-passo, para você entender e poder aplicar na prova).
- Dependência de energia interna e entalpia do gás ideal:
onde é o número de mols (aqui usamos mol para resultados por mol), e são capacidades molares constantes e . - Trabalho reversível em transformações:
- Trabalho (feito sobre o sistema) para processo genérico:
(mas lembrando que usamos a convenção trabalho sobre o sistema, por isso o sinal já está incorporado na fórmula final que usaremos). - Para compressão isotérmica reversível de gás ideal (por mol):
Explicando as variáveis: é a constante dos gases, é a temperatura (constante na isotérmica), e são pressões e volumes inicial/final. - Para processo a volume constante:
(porque ). - Para processo a pressão constante: trabalho (sobre o sistema)
(expressando e substituindo).
- Trabalho (feito sobre o sistema) para processo genérico:
- Relação útil: porque
(já usado para achar ).
Passo 3
Volumes molar inicial e final (cálculo direto usando o enunciado).
- Volume molar inicial (dado):
. - Para gás ideal à mesma temperatura,
inversamente proporcional à , logo
Passo 4
Trajetória A: compressão isotérmica reversível (temperatura constante em
) — cálculos passo-a-passo.
- Como
, temos (Explicação didática: para gás ideal e dependem só da temperatura; se não muda, essas variações são zero.) - Trabalho feito SOBRE o sistema (por mol):
Substituindo , , , : Calculando numericamente: - Calor trocado (pela 1ª lei
, com ): (Interpretação: calor sai do sistema; para manter a isotermia é necessário retirar calor)
Passo 5
Trajetória B: aquecimento a volume constante até a pressão
(estado intermédio), seguido de resfriamento a pressão constante até
. Vamos dividir em duas etapas e somar.
Etapa 1 — aquecimento a volume constante de
até
.
- Em volume constante,
. Assim - Trabalho sobre o sistema:
(porque ). - Variação de energia interna (por mol):
Calculando: - Como
, pelo balanço de energia : (calor fornecido ao gás nessa etapa). - Variação de entalpia na etapa (mesmo
):
Etapa 2 — resfriamento a pressão constante
de
até
.
-
Variação de temperatura:
. -
Trabalho sobre o sistema (pressão constante). Podemos usar
(ver dedução no passo 2): (positivo: trabalho foi feito sobre o gás enquanto ele foi comprimido pela queda de temperatura a pressão fixa). -
Variação de energia interna:
-
Pelo balanço
, obtemos: (isto casa com, e para processo a constante .) -
Resumo numérico das duas etapas:
-
Totais ao percorrer as duas etapas (trajetória completa):(Comentário: os zeros para
e aparecem porque o estado inicial e final têm a mesma temperatura.)]
Passo 6
Conclusões e interpretação física (rápida, para fixar a ideia na sua cabeça).
- Para ambas as trajetórias
e porque o gás ideal tem energia interna e entalpia dependentes somente de , e . - O calor e o trabalho são caminho-dependentes: na isotérmica reversível o trabalho realizado sobre o sistema é menor (
) do que na trajetória “V constante + P constante” ( ). Em conseqüência, o calor trocado também difere em sinal e magnitude. - Use sempre a convenção de sinais que você define no começo da resolução; aqui usei
para trabalho sobre o sistema.
Resposta
Trajetória isotérmica reversível (por mol):
Trajetória: aquecimento a
constante seguido de resfriamento a
constante (por mol, totais):
(Para referência detalhada das etapas da segunda trajetória: etapa 1 —
,
; etapa 2 —
,
.)