Ar a 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} é comprimido até 5 bar e 25^{\circ} \mathrm{C}, através de dois diferentes processos mecanicamente reversíveis.
Calcule o calor e o trabalho necessários, e \Delta U e \Delta H do ar para cada trajetória. As capacidades caloríficas do ar a seguir podem ser consideradas independentes da temperatura \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=20,78 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K} e \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=29,10 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}. admita também para o ar que \mathrm{PV} / \mathrm{T} é uma constante, independente das mudanças pelas quais ele passe. A 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar o volume molar do ar é de 0,02479 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol}.
Aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: para o ar comprimido reversivelmente de 1\\ \mathrm{bar} e 25^\circ\mathrm{C} até 5\\ \mathrm{bar} e 25^\circ\mathrm{C} calcule o calor q, o trabalho w, \Delta U e \Delta H para duas trajetórias reversíveis diferentes. Uma das trajetórias é explicitamente: aquecimento a volume constante seguido de resfriamento a pressão constante. A outra trajetória que vamos comparar é a compressão isotérmica reversível (pois ambos os estados inicial e final têm a mesma temperatura, a compressão isotérmica é a escolha natural e simples para uma trajetória reversível).
  • Dados (por mol): \begin{aligned} &P_1=1\\ \mathrm{bar},\quad T_1=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &P_2=5\\ \mathrm{bar},\quad T_2=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &V_{1,\mathrm{mol}}=0{,}02479\\ \mathrm{m^3/mol}\\ (\text{dado pelo enunciado}),\\\ &C_V=20{,}78\\ \mathrm{J/(mol\;K)},\quad C_P=29{,}10\\ \mathrm{J/(mol\;K)}. \end{aligned}
  • Observação: assumimos gás ideal com PV/T= constante. Para consistência com os C_P e C_V dados, usaremos R=C_P-C_V=29{,}10-20{,}78=8{,}32\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
  • Convenção de sinais (importante!): vou usar a forma da 1ª lei \Delta U = q + w,onde w é o trabalho feito SOBRE o sistema (isto é, w>0 quando trabalho é feito sobre o gás). Com essa convenção, para um processo de compressão w>0 normalmente.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo-a-passo, para você entender e poder aplicar na prova).
  • Dependência de energia interna e entalpia do gás ideal: \Delta U = n C_V \Delta T,\qquad \Delta H = n C_P \Delta T,onde n é o número de mols (aqui usamos n=1 mol para resultados por mol), C_V e C_P são capacidades molares constantes e \Delta T=T_2-T_1.
  • Trabalho reversível em transformações:
    • Trabalho (feito sobre o sistema) para processo genérico: w=-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P\,dV (mas lembrando que usamos a convenção w trabalho sobre o sistema, por isso o sinal já está incorporado na fórmula final que usaremos).
    • Para compressão isotérmica reversível de gás ideal (por mol): w_{\text{iso}} = nRT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = nRT\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).Explicando as variáveis: R é a constante dos gases, T é a temperatura (constante na isotérmica), P_1,P_2 e V_1,V_2 são pressões e volumes inicial/final.
    • Para processo a volume constante: w=0 (porque dV=0).
    • Para processo a pressão constante: trabalho (sobre o sistema) w_{P=\text{const}} = P\,(V_1-V_2)=nR(T_{\text{int}}-T_2)(expressando V=nRT/P e substituindo).
  • Relação útil: porque C_P-C_V=R (já usado para achar R).

Passo 3

Volumes molar inicial e final (cálculo direto usando o enunciado).
  • Volume molar inicial (dado): V_1=0{,}02479\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Para gás ideal à mesma temperatura, V inversamente proporcional à P, logo V_2 = V_1\frac{P_1}{P_2} = \frac{0{,}02479}{5}=0{,}004958\\ \mathrm{m^3/mol}.

Passo 4

Trajetória A: compressão isotérmica reversível (temperatura constante em 298{,}15\\ \mathrm{K}) — cálculos passo-a-passo.
  • Como \Delta T=0, temos \Delta U=0,\qquad \Delta H=0.(Explicação didática: para gás ideal U e H dependem só da temperatura; se T não muda, essas variações são zero.)
  • Trabalho feito SOBRE o sistema (por mol): w_{\text{iso}}=nRT\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).Substituindo n=1, R=8{,}32\\ \mathrm{J/(mol\;K)}, T=298{,}15\\ \mathrm{K}, P_2/P_1=5: w_{\text{iso}}=1\cdot 8{,}32\cdot 298{,}15\cdot\ln(5).Calculando numericamente: 8{,}32\cdot 298{,}15 \approx 2480{,}61\quad\Rightarrow\quad w_{\text{iso}}\approx 2480{,}61\cdot 1{,}60944\approx 3992{,}4\\ \mathrm{J/mol}.
  • Calor trocado (pela 1ª lei \Delta U=q+w, com \Delta U=0): q_{\text{iso}} = -w_{\text{iso}} \approx -3992{,}4\\ \mathrm{J/mol}.(Interpretação: calor sai do sistema; para manter a isotermia é necessário retirar calor)

Passo 5

Trajetória B: aquecimento a volume constante até a pressão 5\\ \mathrm{bar} (estado intermédio), seguido de resfriamento a pressão constante até T=25^\circ\mathrm{C}. Vamos dividir em duas etapas e somar.
Etapa 1 — aquecimento a volume constante de (P_1,T_1,V_1) até (P_{\text{int}}=5\\ \mathrm{bar},T_{\text{int}},V_1).
  • Em volume constante, P\propto T. Assim T_{\text{int}}=T_1\frac{P_{\text{int}}}{P_1}=298{,}15\cdot 5=1490{,}75\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho sobre o sistema: w_1=0 (porque dV=0).
  • Variação de energia interna (por mol): \Delta U_1 = C_V(T_{\text{int}}-T_1)=20{,}78\cdot(1490{,}75-298{,}15)=20{,}78\cdot 1192{,}6.Calculando: \Delta U_1 \approx 20{,}78\cdot 1192{,}6 \approx 24\,782{,}2\\ \mathrm{J/mol}.
  • Como w_1=0, pelo balanço de energia q_1=\Delta U_1: q_1\approx +24\,782{,}2\\ \mathrm{J/mol}(calor fornecido ao gás nessa etapa).
  • Variação de entalpia na etapa (mesmo \Delta T): \Delta H_1 = C_P(T_{\text{int}}-T_1)=29{,}10\cdot 1192{,}6 \approx 34\,704{,}7\\ \mathrm{J/mol}.
Etapa 2 — resfriamento a pressão constante P=5\\ \mathrm{bar} de T_{\text{int}}=1490{,}75\\ \mathrm{K} até T_2=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura: \Delta T_2=T_2-T_{\text{int}}=-1192{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho sobre o sistema (pressão constante). Podemos usar w_{P} = nR(T_{\text{int}}-T_2) (ver dedução no passo 2):
    w_2 = R\,(T_{\text{int}}-T_2)=8{,}32\cdot 1192{,}6 \approx 9\,922{,}4\\ \mathrm{J/mol}.
    (positivo: trabalho foi feito sobre o gás enquanto ele foi comprimido pela queda de temperatura a pressão fixa).
  • Variação de energia interna:
    \Delta U_2 = C_V(T_2-T_{\text{int}})=20{,}78\cdot(-1192{,}6)\approx -24\,782{,}2\\ \mathrm{J/mol}.
  • Pelo balanço \Delta U_2=q_2+w_2, obtemos:
    q_2=\Delta U_2-w_2 \approx -24\,782{,}2 - 9\,922{,}4 = -34\,704{,}6\\ \mathrm{J/mol}.
    (isto casa com \Delta H_2=C_P\Delta T_2 = 29{,}10\cdot(-1192{,}6)\approx -34\,704{,}7\\ \mathrm{J/mol}, e para processo a P constante q_P=\Delta H.)
  • Resumo numérico das duas etapas:
    \begin{aligned} &\text{Etapa 1 (V constante): } q_1\approx +24\,782{,}2,\quad w_1=0,\quad \Delta U_1\approx +24\,782{,}2,\quad \Delta H_1\approx +34\,704{,}7\\[4pt] &\text{Etapa 2 (P constante): } q_2\approx -34\,704{,}7,\quad w_2\approx +9\,922{,}4,\quad \Delta U_2\approx -24\,782{,}2,\quad \Delta H_2\approx -34\,704{,}7. \end{aligned}
  • Totais ao percorrer as duas etapas (trajetória completa):
    \begin{aligned} &q_{\text{tot}}=q_1+q_2\approx 24\,782{,}2 -34\,704{,}7 = -9\,922{,}4\\ \mathrm{J/mol},\\\ &w_{\text{tot}}=w_1+w_2=0 + 9\,922{,}4 = +9\,922{,}4\\ \mathrm{J/mol},\\\ &\Delta U_{\text{tot}}=\Delta U_1+\Delta U_2 = 0,\\\ &\Delta H_{\text{tot}}=\Delta H_1+\Delta H_2 = 0. \end{aligned}
    (Comentário: os zeros para \Delta U e \Delta H aparecem porque o estado inicial e final têm a mesma temperatura.)]

Passo 6

Conclusões e interpretação física (rápida, para fixar a ideia na sua cabeça).
  • Para ambas as trajetórias \Delta U=0 e \Delta H=0 porque o gás ideal tem energia interna e entalpia dependentes somente de T, e T_1=T_2.
  • O calor e o trabalho são caminho-dependentes: na isotérmica reversível o trabalho realizado sobre o sistema é menor ( \approx 3{.}992\\ \mathrm{kJ/mol}) do que na trajetória “V constante + P constante” ( \approx 9{.}922\\ \mathrm{kJ/mol}). Em conseqüência, o calor trocado também difere em sinal e magnitude.
  • Use sempre a convenção de sinais que você define no começo da resolução; aqui usei w>0 para trabalho sobre o sistema.

Resposta

Trajetória isotérmica reversível (por mol):
q_{\text{iso}} \approx -3992{,}4\\ \mathrm{J/mol}
w_{\text{iso}} \approx +3992{,}4\\ \mathrm{J/mol}
\Delta U_{\text{iso}}=0
\Delta H_{\text{iso}}=0
Trajetória: aquecimento a V constante seguido de resfriamento a P constante (por mol, totais):
q_{\text{tot}} \approx -9922{,}4\\ \mathrm{J/mol}
w_{\text{tot}} \approx +9922{,}4\\ \mathrm{J/mol}
\Delta U_{\text{tot}}=0
\Delta H_{\text{tot}}=0
(Para referência detalhada das etapas da segunda trajetória: etapa 1 — q_1\approx +24\,782{,}2\\ \mathrm{J/mol}, w_1=0; etapa 2 — q_2\approx -34\,704{,}7\\ \mathrm{J/mol}, w_2\approx +9\,922{,}4\\ \mathrm{J/mol}.)

Exercícios relacionados