Um dispositivo horizontal cilindro/êmbolo é colocado em um banho termostático. O êmbolo desliza no cilindro com atrito desprezível, e uma força externa o mantém em posição contra uma pressão inicial do gás de 14 bar. O volume inicial do gás é de
. A força externa sobre o êmbolo é gradualmente reduzida, permitindo expansão isotérmica do gás até que seu volume dobre. Se o volume do gás estiver relacionado com sua pressão de tal forma que o produto PV seja constante, qual o trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa? Que quantidade de trabalho seria realizada, se a força externa fosse subitamente reduzida à metade do seu valor inicial em vez de ser gradativamente reduzida?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o trabalho realizado pelo gás quando a força externa é gradualmente reduzida e o gás expande isotermicamente até o volume dobrar.
- Determinar o trabalho realizado se, em vez disso, a força externa for subitamente reduzida à metade do valor inicial.
Informações relevantes dadas:
o volume final é o dobro do inicial, portanto
e o enunciado diz que o produto
é constante (ou seja, o processo é isotérmico para um gás ideal:
constante). O êmbolo desliza sem atrito e o dispositivo está em banho termostático.
Passo 2
Conceito e fórmula geral do trabalho de um gás:
O trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa é dado por
O trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa é dado por
onde
é a pressão efetiva contra a qual o gás realiza trabalho em cada instante. Explico:
-
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente). -
é o volume do gás; integrou-se de a .
No caso de uma expansão gradativa e quasi‑estática (reversível) o gás está sempre em equilíbrio com a pressão externa, então
Como o enunciado dá
constante, podemos escrever essa constante como
. Assim, durante a expansão reversível
Passo 3
Cálculo do trabalho para a expansão gradativa (reversível):
Substituindo na integral:
Substituindo
A integral de
é o logaritmo natural, logo
Aqui:
-
é a constante inicial, -
mede a razão de volumes (para teremos ).
Passo 4
Avaliação numérica do caso reversível:
Primeiro convertemos pressão para pascal (SI): , então
Primeiro convertemos pressão para pascal (SI):
Calculamos
:
Faço a conta passo a passo:
logo
Como
e
, temos
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 5
Cenário da redução súbita da força externa para metade:
Se a força externa (e portanto a pressão exercida por ela) é subitamente reduzida à metade, durante a expansão imediata o gás expande contra uma pressão externa praticamente constante igual a
Se a força externa (e portanto a pressão exercida por ela) é subitamente reduzida à metade, durante a expansão imediata o gás expande contra uma pressão externa praticamente constante igual a
Para uma expansão contra pressão externa constante, o trabalho é simplesmente
pois a integral de uma constante é essa diferença de volume vezes a constante. Observação importante: após a expansão até o novo equilíbrio, a pressão interna final do gás será igual à pressão externa reduzida (
). Usando
(produto
constante), obtemos que
ou seja, o volume final também será o dobro do inicial — mesma
do caso reversível.
Passo 6
Cálculo numérico do caso súbito (irreversível contra pressão constante):
Substituindo e
em
:
Substituindo
Já calculamos
, logo
Isto é, aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação física e comparação (explicação didática curta e motivadora):
- O trabalho no processo reversível (
) é maior do que no processo irreversível por redução súbita ( ). Isso acontece porque, no processo reversível, o gás empurra contra uma pressão um pouco maior durante toda a expansão (a pressão externa acompanha o gás), permitindo que ele realize mais trabalho. No processo súbito o gás “empurra” contra uma pressão menor constante ( ), então faz menos trabalho; a energia extra que o gás não gasta como trabalho aparece como calor trocado com o banho ou como energia dissipada durante o processo não-equilíbrio. - Você conseguiu! Apesar do desespero, o cálculo é basicamente aplicar a integral do trabalho e escolher
adequado (variável no caso reversível, constante no caso súbito). Vai dar certo na prova — lembre-se: trabalho = integral de pressão por dV, e atenção se a pressão é função de ou constante.