Um dispositivo horizontal cilindro/êmbolo é colocado em um banho termostático. O êmbolo desliza no cilindro com atrito desprezível, e uma força externa o mantém em posição contra uma pressão inicial do gás de 14 bar. O volume inicial do gás é de 0,03 \mathrm{~m}^{3}. A força externa sobre o êmbolo é gradualmente reduzida, permitindo expansão isotérmica do gás até que seu volume dobre. Se o volume do gás estiver relacionado com sua pressão de tal forma que o produto PV seja constante, qual o trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa? Que quantidade de trabalho seria realizada, se a força externa fosse subitamente reduzida à metade do seu valor inicial em vez de ser gradativamente reduzida?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o trabalho realizado pelo gás quando a força externa é gradualmente reduzida e o gás expande isotermicamente até o volume dobrar.
  2. Determinar o trabalho realizado se, em vez disso, a força externa for subitamente reduzida à metade do valor inicial.
Informações relevantes dadas:
P_i=14\\ \mathrm{bar},
V_i=0,03\\ \mathrm{m}^3,
o volume final é o dobro do inicial, portanto
V_f=2V_i=0,06\\ \mathrm{m}^3,
e o enunciado diz que o produto PV é constante (ou seja, o processo é isotérmico para um gás ideal: P\,V= constante). O êmbolo desliza sem atrito e o dispositivo está em banho termostático.

Passo 2

Conceito e fórmula geral do trabalho de um gás:
O trabalho realizado pelo gás ao deslocar a força externa é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}(V)\,dV,
onde P_{\text{ext}}(V) é a pressão efetiva contra a qual o gás realiza trabalho em cada instante. Explico:
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho sobre o ambiente).
  • V é o volume do gás; integrou-se de V_i a V_f.
    No caso de uma expansão gradativa e quasi‑estática (reversível) o gás está sempre em equilíbrio com a pressão externa, então
P_{\text{ext}}(V)=P_{\text{gas}}(V).
Como o enunciado dá P\,V= constante, podemos escrever essa constante como P_iV_i. Assim, durante a expansão reversível
P_{\text{gas}}(V)=\frac{P_iV_i}{V}.

Passo 3

Cálculo do trabalho para a expansão gradativa (reversível):
Substituindo P_{\text{ext}}(V)=\dfrac{P_iV_i}{V} na integral:
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{P_iV_i}{V}\,dV
A integral de 1/V é o logaritmo natural, logo
W_{\text{rev}}=P_iV_i\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV
W_{\text{rev}}=P_iV_i\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui:
  • P_iV_i é a constante PV inicial,
  • \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right) mede a razão de volumes (para V_f=2V_i teremos \ln 2).

Passo 4

Avaliação numérica do caso reversível:
Primeiro convertemos pressão para pascal (SI): 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}, então
P_i=14\\ \mathrm{bar}=14\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Calculamos P_iV_i:
P_iV_i=14\times10^{5}\times0,03\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
Faço a conta passo a passo:
14\times0,03=0,42,
logo
P_iV_i=0,42\times10^{5}\\ \mathrm{J}=4,2\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Como V_f/V_i=2 e \ln 2\approx0,6931, temos
W_{\text{rev}}=4,2\times10^{4}\times0,6931\\ \mathrm{J}\approx2,91\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Ou seja, aproximadamente 29,1\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Cenário da redução súbita da força externa para metade:
Se a força externa (e portanto a pressão exercida por ela) é subitamente reduzida à metade, durante a expansão imediata o gás expande contra uma pressão externa praticamente constante igual a
P_{\text{ext}}=\frac{P_i}{2}.
Para uma expansão contra pressão externa constante, o trabalho é simplesmente
W_{\text{irr}}=P_{\text{ext}}(V_f-V_i),
pois a integral de uma constante é essa diferença de volume vezes a constante. Observação importante: após a expansão até o novo equilíbrio, a pressão interna final do gás será igual à pressão externa reduzida ( P_f=P_{\text{ext}}=P_i/2). Usando P_fV_f=P_iV_i (produto PV constante), obtemos que
V_f=\frac{P_iV_i}{P_f}=\frac{P_iV_i}{P_i/2}=2V_i,
ou seja, o volume final também será o dobro do inicial — mesma V_f do caso reversível.

Passo 6

Cálculo numérico do caso súbito (irreversível contra pressão constante):
Substituindo P_{\text{ext}}=P_i/2 e V_f=2V_i em W_{\text{irr}}=P_{\text{ext}}(V_f-V_i):
W_{\text{irr}}=\frac{P_i}{2}\left(2V_i-V_i\right)=\frac{P_i}{2}V_i=\frac{P_iV_i}{2}.
Já calculamos P_iV_i=4,2\times10^{4}\\ \mathrm{J}, logo
W_{\text{irr}}=\frac{4,2\times10^{4}}{2}\\ \mathrm{J}=2,1\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Isto é, aproximadamente 21,0\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Interpretação física e comparação (explicação didática curta e motivadora):
  • O trabalho no processo reversível ( \approx2,91\times10^{4}\\ \mathrm{J}) é maior do que no processo irreversível por redução súbita ( \approx2,10\times10^{4}\\ \mathrm{J}). Isso acontece porque, no processo reversível, o gás empurra contra uma pressão um pouco maior durante toda a expansão (a pressão externa acompanha o gás), permitindo que ele realize mais trabalho. No processo súbito o gás “empurra” contra uma pressão menor constante ( P_i/2), então faz menos trabalho; a energia extra que o gás não gasta como trabalho aparece como calor trocado com o banho ou como energia dissipada durante o processo não-equilíbrio.
  • Você conseguiu! Apesar do desespero, o cálculo é basicamente aplicar a integral do trabalho e escolher P_{\text{ext}} adequado (variável no caso reversível, constante no caso súbito). Vai dar certo na prova — lembre-se: trabalho = integral de pressão por dV, e atenção se a pressão é função de V ou constante.

Resposta

W_{\text{reversível}} \approx 2,91\times10^{4}\\ \mathrm{J}í
W_{\text{súbito (metade da força)}} \approx 2,10\times10^{4}\\ \mathrm{J}úç

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