A bar has a length of 8 in . and cross-sectional area of 12 \mathrm{in}^{2}. Determine the modulus of elasticity of the material if it is subjected to an axial tensile load of 10 kip and stretches 0.003 in . The material has linear elastic behavior.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o módulo de elasticidade do material da barra. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\text{Comprimento inicial } L = 8\\ \text{in.}
\text{Área da seção } A = 12\\ \text{in}^2Áçã
\text{Força axial (tração) } F = 10\\ \text{kip}ççã
\text{Alongamento } \Delta L = 0{,}003\\ \text{in.}
A barra comporta-se de forma linear elástica. A pergunta é: qual é o módulo de elasticidade E do material?

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho): em comportamento linear elástico vale a Lei de Hooke na forma entre tensão e deformação:
\sigma = E\,\varepsilon
onde
  • \sigma é a tensão (stress), definida por \sigma=\dfrac{F}{A}. Unidade comum: \text{psi}=\text{lb/in}^2.
  • \varepsilon é a deformação (strain), definida por \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L}. É adimensional (sem unidade).
  • E é o módulo de elasticidade que queremos achar. Reorganizando:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{F/A}{\Delta L / L}.
Vou usar essa última expressão passo a passo.

Passo 3

Primeiro ajustamos unidades da força para lb (pois área está em \text{in}^2 e queremos \text{psi}):
F = 10\\ \text{kip} = 10\times 10^{3}\\ \text{lb} = 10000\\ \text{lb}.
Mantemos A=12\\ \text{in}^2, L=8\\ \text{in} e \Delta L=0{,}003\\ \text{in}.

Passo 4

Calculamos a tensão \sigma:
\sigma=\frac{F}{A}=\frac{10000}{12}=\frac{2500}{3}\\ \text{lb/in}^2.
Em número decimal:
\sigma=833{,}\overline{3}\\ \text{psi}.
Explicação curta: dividimos a força pela área para saber quantos libras por polegada quadrada estão atuando — isso é a tensão.

Passo 5

Calculamos a deformação \varepsilon:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}=\frac{0{,}003}{8}=0{,}000375.
Explicação curta: deformação é a fração de alongamento em relação ao comprimento original — por isso é adimensional.

Passo 6

Agora aplicamos E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}. Substituindo os valores:
E=\frac{833{,}\overline{3}}{0{,}000375}.
Para fazer a conta de forma exata, usei a fração \sigma=\dfrac{2500}{3}, então
E=\frac{2500/3}{0{,}000375}=\frac{2500}{3\times 0{,}000375}.
Calculando o denominador:
3\times 0{,}000375=0{,}001125.
Portanto
E=\frac{2500}{0{,}001125}=2222222{,}222\ldots\\ \text{psi}.

Passo 7

Interpretação do resultado e forma prática: é habitual expressar E em \text{psi} ou em \text{ksi} (1 \text{ksi}=10^{3}\\ \text{psi}). Assim:
E \approx 2{,}22\times 10^{6}\\ \text{psi} = 2222{,}22\\ \text{ksi}.
Sugestão de arredondamento para a prova: apresentar E\approx 2{,}22\times 10^{6}\\ \text{psi} (ou 2{,}22\\ \text{Mpsi}).

Resposta

E=2{,}22\times 10^{6}\\ \text{psi}
E=2222{,}22\\ \text{ksi}

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