A 10-\mathrm{mm}-diameter rod has a modulus of elasticity of E=100 \mathrm{GPa}. If it is 4 m long and subjected to an axial tensile load of 6 kN , determine its elongation. Assume linear elastic behavior.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a elongação axial da barra:
  • Diâmetro da haste: d=10\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de elasticidade: E=100\\ \mathrm{GPa}.
  • Comprimento inicial: L=4\\ \mathrm{m}.
  • Força axial (tração): P=6\\ \mathrm{kN}.
    O que se pede: determinar a elongação axial \Delta L assumindo comportamento linear-elástico.

Passo 2

Fórmulas relevantes (explicadas passo a passo):
  • Definição de tensão média axial: \displaystyle \sigma=\frac{P}{A}, onde \sigma é a tensão média (em \mathrm{Pa}), P é a força axial (em \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (em \mathrm{m}^2). Isto vem da definição física de tensão como força por unidade de área.
  • Definição de deformação axial média: \displaystyle \varepsilon=\frac{\Delta L}{L}, onde \varepsilon é a deformação adimensional e \Delta L é a variação de comprimento (em \mathrm{m}).
  • Lei de Hooke para tração axial (regime linear-elástico): \displaystyle \sigma=E\varepsilon, onde E é o módulo de elasticidade (em \mathrm{Pa}). Esta relação diz que, para pequenos alongamentos, tensão e deformação são proporcionais.
  • Combinando as três expressões:
E\frac{\Delta L}{L}=\frac{P}{A}\quad\Longrightarrow\quad \Delta L=\frac{P\,L}{A\,E}.
Aqui \Delta L é o que queremos achar; P, L, A, E já foram definidos.

Passo 3

Calcular a área da seção circular a partir do diâmetro:
  • Primeiro converto o diâmetro para metros: d=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Área de um círculo: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo:
A=\frac{\pi (0,01)^{2}}{4=\\ } \pi\cdot 2,5\times10^{-5}
A=\pi\cdot 2,5\times10^{-5}=7,8539816\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: calculei (0,01)^{2}=1\times10^{-4}, dividi por 4 para obter 2,5\times10^{-5} e multipliquei por \pi.

Passo 4

Colocar todas as quantidades em unidades do SI:
  • Força: P=6\\ \mathrm{kN}=6000\\ \mathrm{N}.
  • Comprimento: L=4\\ \mathrm{m} (já em SI).
  • Módulo: E=100\\ \mathrm{GPa}=100\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}=1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
  • Área: A=7,8539816\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2} (do passo anterior).

Passo 5

Substituir na fórmula \displaystyle \Delta L=\frac{P\,L}{A\,E} e calcular passo a passo:
  • Numerador:
P\,L=6000\cdot 4=24000\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Denominador:
A\,E=(7,8539816\times10^{-5})\cdot(1\times10^{11})=7,8539816\times10^{6}.
  • Dividindo:
\Delta L=\frac{24000}{7,8539816\times10^{6}}=3,055\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros (mais intuitivo):
\Delta L=3,055\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3,055\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com três algarismos significativos fica \Delta L\approx3,06\\ \mathrm{mm}.

Resposta

3,06\\ \mathrm{mm}

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