- 3 Um baralho padrão tem 52 cartas divididas em 4 naipes, cada um com 13 cartas. Dois dos naipes (copas e ouros) são vermelhos; os outros dois (espadas e paus) são pretos. As cartas são embaralhadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que as duas primeiras cartas sejam ambas vermelhas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um baralho padrão tem
cartas. - Existem
naipes, cada naipe com cartas. - Dois naipes (
e ) são vermelhos, portanto há cartas vermelhas no total. - As cartas são embaralhadas e retiradas sem reposição (ou seja, sem devolver a primeira carta antes de tirar a segunda).
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que as duas primeiras cartas retiradas sejam ambas vermelhas.
Passo 2
Probabilidade da primeira carta ser vermelha.
Há
cartas vermelhas entre
cartas, então a probabilidade da primeira ser vermelha é
Explicação: probabilidade é “casos favoráveis dividido por casos possíveis” — aqui cada carta é igualmente provável.
Passo 3
Probabilidade da segunda carta ser vermelha dado que a primeira foi vermelha (condicional).
Como não há reposição, se a primeira carta foi vermelha restam
cartas vermelhas entre
cartas totais. Logo
Explicação didática: após tirar uma vermelha, o universo de cartas diminui em uma e o número de vermelhas também diminui em uma.
Passo 4
Probabilidade das duas primeiras serem vermelhas usando a regra do produto (probabilidade de eventos sequenciais).
Para eventos sequenciais sem reposição, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade do primeiro pelo da segunda condicional:
Substituindo os valores:
Aqui mostrei cada passo de simplificação para que dê para reproduzir na prova sem pular etapas.
Passo 5
Abordagem alternativa (contagem combinatória) — validação e entendimento.
Outra forma comum é contar combinações: escolher as
cartas dentre as
vermelhas é
maneiras; escolher quaisquer
cartas dentre
é
maneiras. Então
Calculemos:
logo
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
obtém-se
confirmando o resultado do passo anterior. Essa equivalência mostra que a visão sequencial com probabilidades condicionais e a visão combinatória são consistentes.
Passo 6
Valor numérico aproximado e observação final.
Convertendo para decimal,
ou seja, aproximadamente
. Intuitivamente: a chance é um pouco menor que
porque, depois de tirar uma vermelha, a proporção de vermelhas no baralho cai ligeiramente.
Dica rápida para a prova: para
cartas vermelhas seguidas sem reposição, pode usar o produto
ou a forma combinatória
. Isso funciona sempre que as escolhas são aleatórias sem reposição.