• 3 Um baralho padrão tem 52 cartas divididas em 4 naipes, cada um com 13 cartas. Dois dos naipes (copas e ouros) são vermelhos; os outros dois (espadas e paus) são pretos. As cartas são embaralhadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que as duas primeiras cartas sejam ambas vermelhas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um baralho padrão tem 52 cartas.
  • Existem 4 naipes, cada naipe com 13 cartas.
  • Dois naipes ( \text{copas} e \text{ouros}) são vermelhos, portanto há 26 cartas vermelhas no total.
  • As cartas são embaralhadas e retiradas sem reposição (ou seja, sem devolver a primeira carta antes de tirar a segunda).
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que as duas primeiras cartas retiradas sejam ambas vermelhas.

Passo 2

Probabilidade da primeira carta ser vermelha.
26 cartas vermelhas entre 52 cartas, então a probabilidade da primeira ser vermelha é
P(\text{1ª vermelha})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}.ª
Explicação: probabilidade é “casos favoráveis dividido por casos possíveis” — aqui cada carta é igualmente provável.

Passo 3

Probabilidade da segunda carta ser vermelha dado que a primeira foi vermelha (condicional).
Como não há reposição, se a primeira carta foi vermelha restam 25 cartas vermelhas entre 51 cartas totais. Logo
P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha})=\frac{25}{51}.ªª
Explicação didática: após tirar uma vermelha, o universo de cartas diminui em uma e o número de vermelhas também diminui em uma.

Passo 4

Probabilidade das duas primeiras serem vermelhas usando a regra do produto (probabilidade de eventos sequenciais).
Para eventos sequenciais sem reposição, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade do primeiro pelo da segunda condicional:
P(\text{1ª e 2ª vermelhas})=P(\text{1ª vermelha})\cdot P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha}).ªªªªª
Substituindo os valores:
P(\text{1ª e 2ª vermelhas})=\frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{51}=\frac{25}{102}.ªª
Aqui mostrei cada passo de simplificação para que dê para reproduzir na prova sem pular etapas.

Passo 5

Abordagem alternativa (contagem combinatória) — validação e entendimento.
Outra forma comum é contar combinações: escolher as 2 cartas dentre as 26 vermelhas é \binom{26}{2} maneiras; escolher quaisquer 2 cartas dentre 52 é \binom{52}{2} maneiras. Então
P=\frac{\binom{26}{2}}{\binom{52}{2}}.
Calculemos:
\binom{26}{2}=\frac{26\cdot25}{2}=325, \qquad \binom{52}{2}=\frac{52\cdot51}{2}=1326,
logo
P=\frac{325}{1326}.
Simplificando \frac{325}{1326} dividindo numerador e denominador por 13 obtém-se
P=\frac{25}{102},
confirmando o resultado do passo anterior. Essa equivalência mostra que a visão sequencial com probabilidades condicionais e a visão combinatória são consistentes.

Passo 6

Valor numérico aproximado e observação final.
Convertendo para decimal,
\frac{25}{102}\approx 0,2451,
ou seja, aproximadamente 24{,}51\%. Intuitivamente: a chance é um pouco menor que 1/4 porque, depois de tirar uma vermelha, a proporção de vermelhas no baralho cai ligeiramente.
Dica rápida para a prova: para k cartas vermelhas seguidas sem reposição, pode usar o produto
\frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}\cdot\frac{24}{50}\cdots
ou a forma combinatória \dfrac{\binom{26}{k}}{\binom{52}{k}}. Isso funciona sempre que as escolhas são aleatórias sem reposição.

Resposta

\dfrac{25}{102}
\approx 0,2451