Uma barra cilíndrica de aço (
) tem limite de escoamento de 310 MPa e deve ser submetida a uma carga de 11.100 N . Se o comprimento da barra é de 500 mm , qual deve ser seu diâmetro para um alongamento elástico máximo de
?
A= P.Lo/Delta L.E
Substituindo os dados:
Substituindo os dados:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o diâmetro de uma barra cilíndrica de aço, sabendo que ela será submetida a uma força e que o alongamento elástico máximo permitido é dado. Dados fornecidos no enunciado (vou listar tudo explicitamente):
A pergunta é: qual deve ser o diâmetro
da barra para que o alongamento elástico não ultrapasse
.
Passo 2
Converter todas as unidades para o sistema SI (metros, pascals) para evitar erros de escala. Explico rápido como fazer cada conversão:
As outras grandezas (
) já estavam em unidades SI (newtons). Sempre que fizer conta com força, comprimento e módulo de elasticidade, trabalhar em metros e pascals evita confusão.
Passo 3
Explicar a fórmula usada e de onde ela vem, passo a passo e de forma bem didática:
Quando uma barra sujeita a uma força axial alonga elasticamente, a relação entre força, área da seção transversal
, deformação e módulo de elasticidade
é dada por duas ideias básicas:
Quando uma barra sujeita a uma força axial
- Tensão (sigma) é força por área:
- Deformação axial (epsilon) é alongamento relativo:
- Lei de Hooke (para regime elástico) relaciona tensão e deformação:
Juntando 1), 2) e 3):
Isolando a área
:
Essa é a fórmula que permite obter a área necessária para limitar o alongamento elástico a
.
Passo 4
Substituir os valores na fórmula de
. Vou colocar cada termo em notação numérica para acompanhar melhor:
Agora a fórmula:
Passo 5
Calcular o numerador e o denominador separadamente (para ficar bem claro):
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Faço a multiplicação com atenção às potências:
Passo 6
Agora a divisão para achar
:
Faço a divisão:
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
(Isto coincide com o valor que você já escreveu:
.)
Passo 7
Agora relacionar a área da seção circular com o diâmetro. Para uma seção circular:
Isolando
:
Vou explicar:
é o diâmetro,
é a área que acabamos de calcular, e
é a constante (aprox.
). A raiz quadrada aparece porque
é proporcional a
.
Passo 8
Substituir o valor de
e calcular
.
Primeiro o que está dentro da raiz:
Primeiro o que está dentro da raiz:
Agora a raiz:
Convertendo para milímetros:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
Passo 9
Fazer uma verificação útil: verificar a tensão que essa barra teria sob a carga e comparar com o limite de escoamento informado (isso é importante numa prova para garantir segurança).
Tensão média:
Tensão média:
Comparando com o limite de escoamento
, vemos que
. Ou seja, a tensão está abaixo do limite de escoamento, portanto o material permanecerá no regime elástico conforme esperado (boa notícia).