Uma barra cilíndrica de aço ( \mathrm{E}=210 \mathrm{GPa} ) tem limite de escoamento de 310 MPa e deve ser submetida a uma carga de 11.100 N . Se o comprimento da barra é de 500 mm , qual deve ser seu diâmetro para um alongamento elástico máximo de 0,38 \mathrm{~mm} ?
A= P.Lo/Delta L.E
Substituindo os dados:
A=6,95.10^{\wedge}-5 \mathrm{~m}^{\wedge} 2
\mathrm{A}=\mathrm{pi} . \mathrm{d}^{\wedge} 2 / 4
\mathrm{d}=9,4 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o diâmetro de uma barra cilíndrica de aço, sabendo que ela será submetida a uma força e que o alongamento elástico máximo permitido é dado. Dados fornecidos no enunciado (vou listar tudo explicitamente):
P = 11\,100\\ \mathrm{N}
L_0 = 500\\ \mathrm{mm}
\Delta L_{\max} = 0{,}38\\ \mathrm{mm}
E = 210\\ \mathrm{GPa}
\sigma_{\text{escoamento}} = 310\\ \mathrm{MPa} \quad(\text{valor informado, não a pergunta})ã
A pergunta é: qual deve ser o diâmetro d da barra para que o alongamento elástico não ultrapasse \Delta L_{\max}=0{,}38\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Converter todas as unidades para o sistema SI (metros, pascals) para evitar erros de escala. Explico rápido como fazer cada conversão:
L_0 = 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}500\\ \mathrm{m}
\Delta L_{\max} = 0{,}38\\ \mathrm{mm} = 0{,}00038\\ \mathrm{m}
E = 210\\ \mathrm{GPa} = 210\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}
As outras grandezas ( P) já estavam em unidades SI (newtons). Sempre que fizer conta com força, comprimento e módulo de elasticidade, trabalhar em metros e pascals evita confusão.

Passo 3

Explicar a fórmula usada e de onde ela vem, passo a passo e de forma bem didática:
Quando uma barra sujeita a uma força axial P alonga elasticamente, a relação entre força, área da seção transversal A, deformação e módulo de elasticidade E é dada por duas ideias básicas:
  1. Tensão (sigma) é força por área:
\sigma = \frac{P}{A}
  1. Deformação axial (epsilon) é alongamento relativo:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
  1. Lei de Hooke (para regime elástico) relaciona tensão e deformação:
\sigma = E\,\varepsilon
Juntando 1), 2) e 3):
\frac{P}{A} = E\cdot\frac{\Delta L}{L_0}
Isolando a área A:
A = \frac{P\,L_0}{E\,\Delta L}
Essa é a fórmula que permite obter a área necessária para limitar o alongamento elástico a \Delta L.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula de A. Vou colocar cada termo em notação numérica para acompanhar melhor:
P = 11100\\ \mathrm{N}
L_0 = 0{,}500\\ \mathrm{m}
E = 210\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}
\Delta L = 0{,}00038\\ \mathrm{m}
Agora a fórmula:
A = \frac{P\,L_0}{E\,\Delta L}

Passo 5

Calcular o numerador e o denominador separadamente (para ficar bem claro):
Numerador:
P\,L_0 = 11100 \times 0{,}500 = 5550\\ \mathrm{N\cdot m}
Denominador:
E\,\Delta L = 210\times 10^{9} \times 0{,}00038
Faço a multiplicação com atenção às potências:
210\times 10^{9} \times 0{,}00038 = 210\times 0{,}00038 \times 10^{9} = 0{,}0798 \times 10^{9} = 7{,}98\times 10^{7}\\ \mathrm{N/m^2}

Passo 6

Agora a divisão para achar A:
A = \frac{5550}{7{,}98\times 10^{7}} \\ \mathrm{m^2}
Faço a divisão:
A \approx 6{,}95238\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
A \approx 6{,}95\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}
(Isto coincide com o valor que você já escreveu: 6{,}95\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.)

Passo 7

Agora relacionar a área da seção circular com o diâmetro. Para uma seção circular:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}
Isolando d:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}
Vou explicar: d é o diâmetro, A é a área que acabamos de calcular, e \pi é a constante (aprox. 3{,}14159). A raiz quadrada aparece porque A é proporcional a d^2.

Passo 8

Substituir o valor de A e calcular d.
Primeiro o que está dentro da raiz:
\frac{4A}{\pi} = \frac{4\times 6{,}95238\times 10^{-5}}{\pi}
\frac{4A}{\pi} \approx 8{,}85298\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}
Agora a raiz:
d = \sqrt{8{,}85298\times 10^{-5}}\\ \mathrm{m}
d \approx 9{,}411\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}
Convertendo para milímetros:
d \approx 9{,}411\\ \mathrm{mm}
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
d \approx 9{,}41\\ \mathrm{mm}

Passo 9

Fazer uma verificação útil: verificar a tensão que essa barra teria sob a carga e comparar com o limite de escoamento informado (isso é importante numa prova para garantir segurança).
Tensão média:
\sigma = \frac{P}{A} = \frac{11100}{6{,}95238\times 10^{-5}}\\ \mathrm{Pa}
\sigma \approx 1{,}596\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 159{,}6\\ \mathrm{MPa}
Comparando com o limite de escoamento \,310\\ \mathrm{MPa}, vemos que \sigma < 310\\ \mathrm{MPa}. Ou seja, a tensão está abaixo do limite de escoamento, portanto o material permanecerá no regime elástico conforme esperado (boa notícia).

Resposta

d \approx 9{,}41\\ \mathrm{mm}

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