Uma máquina rotativa que opera em 1750 RPM teve seu deslocamento medido em 0.05 m . Sabendo que a razão de amortecimento é de 0,1 e que a massa desbalanceada foi aferida como sendo
da massa total do sistema, encontre o valor da excentricidade considerando que a rigidez é de
e a massa do sistema é de 100 kg .
Passo 1
Dados fornecidos e objetivo (vou organizar direitinho para não perder nada):
- Velocidade de rotação:
. - Deslocamento medido (amplitude de vibração):
. - Razão de amortecimento:
. - Massa desbalanceada:
da massa total do sistema. - Rigidez:
. - Massa total do sistema:
.
O que se pede: encontrar a excentricidade
(distância entre o centro da massa desbalanceada e o eixo de rotação) que gere o deslocamento medido.
Passo 2
Modelo físico e força de excitação (explicando passo a passo)
- A máquina é modelada como um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade, com uma massa desbalanceada
girando à velocidade angular . A massa desbalanceada produz uma força centrífuga que varia harmonicamente no tempo. - A amplitude da força harmônica gerada pelo desbalanceamento é
onde:
-
é a massa desbalanceada, -
é a excentricidade que queremos achar, -
é a velocidade angular em rad/s. -
Primeiro converto a rotação de RPM para rad/s:
Agora calculo numericamente:
Passo 3
Massa desbalanceada e frequência natural (continuação das definições)
- A massa desbalanceada é
da massa total, logo
- A frequência natural (rad/s) do sistema é
Substituindo:
- Defino a razão de excitação
:
Numericamente:
Passo 4
Fórmula da resposta em regime permanente e interpretação didática
- A amplitude de resposta estacionária
de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica de amplitude e frequência é dada por
Explicando cada termo:
-
é a deformação estática correspondente à força (se não houvesse efeitos dinâmicos). -
O denominador com
e é o fator de amplificação dinâmica (Dynamic Amplification Factor, DAF), que reduz ou aumenta a resposta dependendo da relação entre e e do amortecimento. -
No nosso caso
. Substituindo:
Passo 5
Isolar
na expressão (passo algébrico claro)
- Resolvo para
:
É a forma direta: excentricidade = amplitude observada vezes (rigidez sobre força por unidade de
) vezes o fator dinâmico.
Passo 6
Cálculo do fator dinâmico (DAF) numericamente, com contas mostradas
- Primeiro calculo
:
- Calculo os termos do denominador:
- Soma dentro da raiz:
- Portanto o DAF é
- Como verificação rápida: para
o termo domina e a raiz fica próxima de , logo o DAF fica aproximadamente . Isto simplifica muito a conta e dá a mesma ordem de grandeza.
Passo 7
Substituição numérica final para obter
- Relembro a fórmula isolada:
- Faço primeiro
:
- Faço
. Já calculamos , então
- Usei o valor da raiz (o inverso do DAF) encontrado no Passo 6:
- Portanto
Calculo em duas etapas:
Passo 8
Interpretação física e aproximação rápida (truque útil na prova)
- Nota muito útil: quando a frequência de excitação é muito maior que a frequência natural (
), o DAF tende a e a expressão simplifica muito:
- Daí surge a aproximação direta para
:
- Substituindo
, , :
o mesmo resultado numérico, só que obtido muito mais rápido — ótimo para prova.