Uma máquina rotativa que opera em 1750 RPM teve seu deslocamento medido em 0.05 m . Sabendo que a razão de amortecimento é de 0,1 e que a massa desbalanceada foi aferida como sendo 10 \% da massa total do sistema, encontre o valor da excentricidade considerando que a rigidez é de 7000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e a massa do sistema é de 100 kg .

Passo 1

Dados fornecidos e objetivo (vou organizar direitinho para não perder nada):
  • Velocidade de rotação: 1750\\ \text{RPM}.
  • Deslocamento medido (amplitude de vibração): 0,05\\ \mathrm{m}.
  • Razão de amortecimento: \zeta=0,1.
  • Massa desbalanceada: 10\% da massa total do sistema.
  • Rigidez: k=7000\\ \mathrm{N/m}.
  • Massa total do sistema: M=100\\ \mathrm{kg}.
O que se pede: encontrar a excentricidade e (distância entre o centro da massa desbalanceada e o eixo de rotação) que gere o deslocamento medido.

Passo 2

Modelo físico e força de excitação (explicando passo a passo)
  • A máquina é modelada como um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade, com uma massa desbalanceada m_u girando à velocidade angular \omega. A massa desbalanceada produz uma força centrífuga que varia harmonicamente no tempo.
  • A amplitude da força harmônica gerada pelo desbalanceamento é
F_0 = m_u \, e \, \omega^2,
onde:
  • m_u é a massa desbalanceada,
  • e é a excentricidade que queremos achar,
  • \omega é a velocidade angular em rad/s.
  • Primeiro converto a rotação de RPM para rad/s:
\omega = 2\pi \cdot \frac{1750}{60}.
Agora calculo numericamente:
\frac{1750}{60}=29{,}1666\ldots
\omega = 2\pi \cdot 29{,}1666\ldots \approx 183{,}2596\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Massa desbalanceada e frequência natural (continuação das definições)
  • A massa desbalanceada é 10\% da massa total, logo
m_u = 0{,}10 \cdot M = 0{,}10 \cdot 100 = 10\\ \mathrm{kg}.
  • A frequência natural (rad/s) do sistema é
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{M}}.
Substituindo:
\omega_n = \sqrt{\frac{7000}{100}} = \sqrt{70} \approx 8{,}3666\\ \mathrm{rad/s}.
  • Defino a razão de excitação r:
r=\frac{\omega}{\omega_n}.
Numericamente:
r \approx \frac{183{,}2596}{8{,}3666} \approx 21{,}9.

Passo 4

Fórmula da resposta em regime permanente e interpretação didática
  • A amplitude de resposta estacionária X de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma força harmônica de amplitude F_0 e frequência \omega é dada por
X = \frac{F_0 / k}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}.
Explicando cada termo:
  • F_0/k é a deformação estática correspondente à força F_0 (se não houvesse efeitos dinâmicos).
  • O denominador com r e \zeta é o fator de amplificação dinâmica (Dynamic Amplification Factor, DAF), que reduz ou aumenta a resposta dependendo da relação entre \omega e \omega_n e do amortecimento.
  • No nosso caso F_0 = m_u e \omega^2. Substituindo:
X = \frac{m_u e \omega^2 / k}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}.

Passo 5

Isolar e na expressão (passo algébrico claro)
  • Resolvo para e:
e = \frac{X \, k}{m_u \, \omega^2} \cdot \sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}.
É a forma direta: excentricidade = amplitude observada vezes (rigidez sobre força por unidade de e) vezes o fator dinâmico.

Passo 6

Cálculo do fator dinâmico (DAF) numericamente, com contas mostradas
  • Primeiro calculo r^2:
r^2 \approx (21{,}9)^2 \approx 480{,}0.
  • Calculo os termos do denominador:
1 - r^2 \approx 1 - 480{,}0 = -479{,}0,
(1 - r^2)^2 \approx (-479{,}0)^2 \approx 229{\,}441,
2\zeta r = 2\cdot 0{,}1 \cdot 21{,}9 \approx 4{,}38,
(2\zeta r)^2 \approx 4{,}38^2 \approx 19{,}2.
  • Soma dentro da raiz:
(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2 \approx 229{\,}441 + 19{,}2 \approx 229{\,}460{,}2.
  • Portanto o DAF é
\frac{1}{\sqrt{229{\,}460{,}2}} \approx \frac{1}{479{,}0} \approx 0{,}00209.
  • Como verificação rápida: para r\gg 1 o termo (1-r^2)^2 domina e a raiz fica próxima de r^2, logo o DAF fica aproximadamente 1/r^2. Isto simplifica muito a conta e dá a mesma ordem de grandeza.

Passo 7

Substituição numérica final para obter e
  • Relembro a fórmula isolada:
e = \frac{X \, k}{m_u \, \omega^2} \cdot \sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}.
  • Faço primeiro X k:
X k = 0{,}05 \cdot 7000 = 350.
  • Faço m_u \omega^2. Já calculamos \omega \approx 183{,}2596\\ \mathrm{rad/s}, então
\omega^2 \approx 183{,}2596^2 \approx 33584{,}2,
m_u \omega^2 = 10 \cdot 33584{,}2 \approx 335842.
  • Usei o valor da raiz (o inverso do DAF) encontrado no Passo 6:
\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2} \approx 479{,}0.
  • Portanto
e \approx \frac{350}{335842} \cdot 479{,}0.
Calculo em duas etapas:
\frac{350}{335842} \approx 0{,}001042,
e \approx 0{,}001042 \cdot 479{,}0 \approx 0{,}499 \approx 0{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação física e aproximação rápida (truque útil na prova)
  • Nota muito útil: quando a frequência de excitação é muito maior que a frequência natural ( r\gg1), o DAF tende a 1/r^2 e a expressão simplifica muito:
X \approx \frac{m_u e \omega^2}{k} \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{m_u e \omega^2}{k} \cdot \frac{\omega_n^2}{\omega^2} = \frac{m_u e}{M}.
  • Daí surge a aproximação direta para r\gg1:
e \approx \frac{X\,M}{m_u}.
  • Substituindo X=0,05\\ \mathrm{m}, M=100\\ \mathrm{kg}, m_u=10\\ \mathrm{kg}:
e \approx \frac{0,05\cdot 100}{10} = 0,5\\ \mathrm{m},
o mesmo resultado numérico, só que obtido muito mais rápido — ótimo para prova.

Resposta

\,0,5\\ \mathrm{m}

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