Uma barra de ferro (calor específico 0,11 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 0,4 \mathrm{~kg} é tirada de um fornalha a 1000,0^{\circ} \mathrm{C} e colocada dentro de um recipiente adiabático contendo 10,00 \mathrm{~kg} de água (de calor especifico 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Determine a) a temperatura final de equilíbrio, b) a variação de entropia do ferro e da água, c) a variação na entropia do universo e diga se o princípio do aumento da entropia é satisfeito, justificando.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados (peguei do enunciado):
  • Massa da barra de ferro: m_{\text{Fe}}=0,4\\ \mathrm{kg}=400\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico do ferro: c_{\text{Fe}}=0,11\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Temperatura inicial do ferro: T_{\text{Fe},i}=1000{,}0{^\circ\mathrm{C}}.
  • Massa de água: m_{\text{H}_2\text{O}}=10{,}00\\ \mathrm{kg}=10000\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico da água: c_{\text{H}_2\text{O}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{H}_2\text{O},i}=20{,}0{^\circ\mathrm{C}}.
  • O recipiente é adiabático (não há troca de calor com o ambiente).
O enunciado pede:
(a) Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
(b) Calcular a variação de entropia do ferro e da água: \Delta S_{\text{Fe}} e \Delta S_{\text{H}_2\text{O}}.
(c) Calcular a variação de entropia do universo (sistema isolado aqui) \Delta S_{\text{uni}}=\Delta S_{\text{Fe}}+\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} e dizer se o princípio do aumento da entropia é satisfeito.

Passo 2

Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado: como o recipiente é adiabático, o calor perdido pelo ferro é ganho pela água. Vou escrever isso matematicamente.
Definições e notação:
  • Q_{\text{Fe}} = calor trocado pelo ferro (positivo se ganhou calor, negativo se perdeu).
  • Q_{\text{H}_2\text{O}} = calor trocado pela água.
  • Em equilíbrio térmico: Q_{\text{Fe}}+Q_{\text{H}_2\text{O}}=0.
Para um corpo com calor específico constante c, massa m, a variação de calor ao variar a temperatura de T_i para T_f é
Q = m c (T_f - T_i),
onde T está em graus Celsius ou Kelvin (diferença de temperaturas é a mesma); aqui usamos c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) e m em gramas, então Q ficará em calorias.
Aplicando ao ferro e à água:
m_{\text{Fe}} c_{\text{Fe}} (T_f - T_{\text{Fe},i}) + m_{\text{H}_2\text{O}} c_{\text{H}_2\text{O}} (T_f - T_{\text{H}_2\text{O},i}) = 0.
Vou resolver essa equação para T_f.

Passo 3

Resolver a equação para T_f.
Substituindo os valores (converti massas para gramas):
400\cdot 0{,}11 \cdot (T_f - 1000{,}0) + 10000\cdot 1{,}0 \cdot (T_f - 20{,}0)=0.
Calculo os coeficientes:
400\cdot 0{,}11 = 44.
Então
44(T_f - 1000{,}0) + 10000(T_f - 20{,}0)=0.
Expandindo:
44T_f - 44000 + 10000T_f - 200000 = 0.
Agrupando T_f:
(44 + 10000)T_f - 244000 = 0 \quad\Rightarrow\quad 10044\,T_f = 244000.
Logo
T_f = \frac{244000}{10044}\\ \,^\circ\mathrm{C}.
Fazendo a divisão,
T_f \approx 24{,}293\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma razoável, T_f \approx 24{,}29\\ ^\circ\mathrm{C}.
Observação didática rápida: a temperatura final ficou muito próxima da temperatura inicial da água porque a água tem massa e calor específico muito maiores que a barra de ferro (10 kg de água contra 0,4 kg de ferro e c_{\text{H}_2\text{O}} \gg c_{\text{Fe}}) — então a água “domina” o equilíbrio térmico.

Passo 4

Entropia: fórmula e explicação didática.
Conceito usado: a variação de entropia para uma transformação reversível é
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Para um corpo com calor específico constante c e massa m, num processo reversível o calor elemento é dQ_{\text{rev}}=m c\, dT. Substituindo:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\, dT}{T} = m c \int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Importante: aqui T deve estar em escala absoluta (Kelvin). Em geral a constante c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) numericamente é a mesma em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K}), então a fórmula é válida se as temperaturas estiverem em Kelvin.
Vou aplicar essa fórmula separadamente à água e ao ferro. Primeiro converto temperaturas para Kelvin:
T_f^{(\mathrm{K})}=T_f+273{,}15 = 24{,}293+273{,}15 \approx 297{,}443\\ \mathrm{K},
T_{\text{H}_2\text{O},i}^{(\mathrm{K})}=20{,}0+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{Fe},i}^{(\mathrm{K})}=1000{,}0+273{,}15=1273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo de \Delta S da água.
Usando
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} = m_{\text{H}_2\text{O}} c_{\text{H}_2\text{O}} \ln\!\left(\frac{T_f^{(\mathrm{K})}}{T_{\text{H}_2\text{O},i}^{(\mathrm{K})}}\right).
Substituindo valores:
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} = 10000\cdot 1{,}0 \cdot \ln\!\left(\frac{297{,}443}{293{,}15}\right)\\ \mathrm{cal/K}.
Calculo do logaritmo:
\frac{297{,}443}{293{,}15}\approx 1{,}01465\quad\Rightarrow\quad \ln(1{,}01465)\approx 0{,}01455.
Portanto
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx 10000 \times 0{,}01455 = 145{,}5\\ \mathrm{cal/K}.
(Arredondei a 1 casa decimal para manter coerência com os dados; fica \approx 145{,}5\\ \mathrm{cal/K}.)
Interpretação: a água aqueceu, por isso \Delta S_{\text{H}_2\text{O}}>0.

Passo 6

Cálculo de \Delta S do ferro.
Usando a mesma fórmula:
\Delta S_{\text{Fe}} = m_{\text{Fe}} c_{\text{Fe}} \ln\!\left(\frac{T_f^{(\mathrm{K})}}{T_{\text{Fe},i}^{(\mathrm{K})}}\right).
Substituindo:
\Delta S_{\text{Fe}} = 400\cdot 0{,}11 \cdot \ln\!\left(\frac{297{,}443}{1273{,}15}\right)\\ \mathrm{cal/K}.
Calculo do coeficiente: 400\cdot 0{,}11 = 44.
Razão das temperaturas:
\frac{297{,}443}{1273{,}15}\approx 0{,}233664\quad\Rightarrow\quad \ln(0{,}233664)\approx -1{,}45209.
Então
\Delta S_{\text{Fe}} \approx 44 \times (-1{,}45209) \approx -63{,}89\\ \mathrm{cal/K}.
Interpretação: o ferro esfriou muito, então sua entropia diminuiu (valor negativo).

Passo 7

Variação total de entropia do universo e verificação do princípio da entropia.
A variação total é soma das duas:
\Delta S_{\text{uni}} = \Delta S_{\text{H}_2\text{O}} + \Delta S_{\text{Fe}} \approx 145{,}5 + (-63{,}89)=81{,}61\\ \mathrm{cal/K}.
O valor é positivo ( \Delta S_{\text{uni}}>0), logo o princípio do aumento da entropia (segunda lei da termodinâmica) é satisfeito: num processo espontâneo em sistema isolado a entropia total aumenta.
Observação sobre unidades: se preferir em joules por kelvin, multiplica-se por 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}. Aqui mantive em \mathrm{cal/K} porque os calores e calores específicos estavam em calorias.

Passo 8

Resumo numérico (para conferência rápida das contas):
  • T_f \approx 24{,}29\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • \Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx +145{,}5\\ \mathrm{cal/K}.
  • \Delta S_{\text{Fe}} \approx -63{,}89\\ \mathrm{cal/K}.
  • \Delta S_{\text{uni}} \approx +81{,}61\\ \mathrm{cal/K} (positivo → princípio atendido).

Resposta

(a) T_f \approx 24{,}29\\ ^\circ\mathrm{C}
(b) \Delta S_{\text{Fe}} \approx -63{,}89\\ \mathrm{cal/K}
\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} \approx +145{,}5\\ \mathrm{cal/K}
(c) \Delta S_{\text{uni}} \approx +81{,}61\\ \mathrm{cal/K} — princípio do aumento da entropia satisfeito (variação total positiva).

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