Uma barra de ferro (calor específico 0,11 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 0,4 \mathrm{~kg} é tirada de um fornalha a 1000,0^{\circ} \mathrm{C} e colocada dentro de um recipiente adiabático contendo 10,00 \mathrm{~kg} de água (de calor especifico 1,0 \mathrm{cal} / \mathrm{g} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) a 20,0^{\circ} \mathrm{C}. Determine a) a temperatura final de equilíbrio, b) a variação de entropia do ferro e da água, c) a variação na entropia do universo e diga se o princípio do aumento da entropia é satisfeito, justificando.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados (peguei do enunciado):
Massa da barra de ferro: m_{\text{Fe}}=0,4\\ \mathrm{kg}=400\\ \mathrm{g}.
Calor específico do ferro: c_{\text{Fe}}=0,11\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
Temperatura inicial do ferro: T_{\text{Fe},i}=1000{,}0{^\circ\mathrm{C}}.
Massa de água: m_{\text{H}_2\text{O}}=10{,}00\\ \mathrm{kg}=10000\\ \mathrm{g}.
Calor específico da água: c_{\text{H}_2\text{O}}=1{,}0\\ \mathrm{cal}\,/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
Temperatura inicial da água: T_{\text{H}_2\text{O},i}=20{,}0{^\circ\mathrm{C}}.
O recipiente é adiabático (não há troca de calor com o ambiente).
O enunciado pede:
(a) Determinar a temperatura final de equilíbrio T_f.
(b) Calcular a variação de entropia do ferro e da água: \Delta S_{\text{Fe}} e \Delta S_{\text{H}_2\text{O}}.
(c) Calcular a variação de entropia do universo (sistema isolado aqui) \Delta S_{\text{uni}}=\Delta S_{\text{Fe}}+\Delta S_{\text{H}_2\text{O}} e dizer se o princípio do aumento da entropia é satisfeito.
Passo 2
Conservação de energia (primeira lei) para o sistema isolado: como o recipiente é adiabático, o calor perdido pelo ferro é ganho pela água. Vou escrever isso matematicamente.
Definições e notação:
Q_{\text{Fe}} = calor trocado pelo ferro (positivo se ganhou calor, negativo se perdeu).
Q_{\text{H}_2\text{O}} = calor trocado pela água.
Em equilíbrio térmico: Q_{\text{Fe}}+Q_{\text{H}_2\text{O}}=0.
Para um corpo com calor específico constante c, massa m, a variação de calor ao variar a temperatura de T_i para T_f é
Q = m c (T_f - T_i),
onde T está em graus Celsius ou Kelvin (diferença de temperaturas é a mesma); aqui usamos c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) e m em gramas, então Q ficará em calorias.
Arredondando de forma razoável, T_f \approx 24{,}29\\ ^\circ\mathrm{C}.
Observação didática rápida: a temperatura final ficou muito próxima da temperatura inicial da água porque a água tem massa e calor específico muito maiores que a barra de ferro (10 kg de água contra 0,4 kg de ferro e c_{\text{H}_2\text{O}} \gg c_{\text{Fe}}) — então a água “domina” o equilíbrio térmico.
Passo 4
Entropia: fórmula e explicação didática.
Conceito usado: a variação de entropia para uma transformação reversível é
Para um corpo com calor específico constante c e massa m, num processo reversível o calor elemento é dQ_{\text{rev}}=m c\, dT. Substituindo:
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\, dT}{T} = m c \int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Importante: aqui T deve estar em escala absoluta (Kelvin). Em geral a constante c em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) numericamente é a mesma em \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K}), então a fórmula é válida se as temperaturas estiverem em Kelvin.
Vou aplicar essa fórmula separadamente à água e ao ferro. Primeiro converto temperaturas para Kelvin:
O valor é positivo (\Delta S_{\text{uni}}>0), logo o princípio do aumento da entropia (segunda lei da termodinâmica) é satisfeito: num processo espontâneo em sistema isolado a entropia total aumenta.
Observação sobre unidades: se preferir em joules por kelvin, multiplica-se por 1\\ \mathrm{cal}=4{,}186\\ \mathrm{J}. Aqui mantive em \mathrm{cal/K} porque os calores e calores específicos estavam em calorias.
Passo 8
Resumo numérico (para conferência rápida das contas):