Um mol de gás ideal confinado é comprimido isotermicamente, a uma temperatura T, de forma abrupta, por uma pressão externa constante P até reduzir seu volume à metade do volume inicial, ficando em equilíbrio com a pressão externa ao final do processo. Sendo R a constante universal dos gases, o trabalho de compressão desse gás é dado por:
a) RT
b)
c) RT
d)
e)
a) RT
b)
c) RT
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
-
Dados fornecidos:
- Um mol de gás ideal.
- Processo isotérmico à temperatura
. - Compressão feita de forma abrupta por uma pressão externa constante
. - O volume final é a metade do volume inicial:
. - Ao final, o gás fica em equilíbrio com a pressão externa (ou seja, a pressão final do gás é
). - A constante universal dos gases é
.
-
Pergunta:
- Qual é o trabalho de compressão desse gás? (Escolher a expressão correta entre as alternativas.)
Passo 2
Vamos relacionar pressões e volumes iniciais/finais usando a equação dos gases ideais para 1 mol:
onde
é a pressão inicial do gás e
o volume inicial; e também
onde
é a pressão final do gás e
o volume final. Aqui
é a constante dos gases e
a temperatura; essas grandezas são as mesmas nas duas equações porque a temperatura é mantida constante.
Expliquei: a equação dos gases ideais
para um mol (
) vira
. Cada variável significa:
-
: pressão do gás (unidade: Pa), -
: volume (m³), -
: constante dos gases (J·mol⁻¹·K⁻¹), -
: temperatura absoluta (K).
Passo 3
Usando
e o fato dado de que ao final o gás está em equilíbrio com a pressão externa
, temos
Pela equação dos gases para o estado final:
Da equação dos gases para o estado inicial obtemos
Comparando as duas expressões, vemos que
Ou seja, a pressão inicial do gás é
. Isso faz sentido: uma pressão externa
maior que
comprime o gás até que a pressão interna suba e fique igual a
.
Passo 4
Agora expressamos
em função de
e
. Da expressão
isolamos
:
Expliquei: isolar
é só rearranjar a igualdade multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
.
Passo 5
Qual é a fórmula do trabalho feito sobre o gás por uma pressão externa constante? Quando a pressão externa é constante
, o trabalho total realizado sobre o gás (trabalho de compressão, positivo quando efetuado sobre o sistema) é
Aqui tomei a convenção: trabalho positivo quando realizam trabalho sobre o gás (compressão). Se quisesse o trabalho feito pelo gás, seria o negativo dessa expressão.
Explicando a origem: para um deslocamento infinitesimal o trabalho é
no sinal convencional de trabalho pelo sistema; integrando com a convenção de trabalho sobre o sistema e para
constante obtemos
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula do trabalho:
Passo 7
Agora substituímos
(do Passo 4) em
:
Fazendo as simplificações (o
cancela com
e o
cancela com
):
Passo 8
Interpretando: o trabalho de compressão feito sobre o gás no processo descrito (compressão abrupta por pressão externa constante
até metade do volume, com equilíbrio final
) é
. Note que este resultado difere do trabalho em um processo isotérmico reversível (quase-estático), cujo módulo seria
; aqui, por ser compressão abrupta com
constante, o trabalho é simplesmente
com os valores dados, levando a
.
Resposta
a)