Um mol de gás ideal confinado é comprimido isotermicamente, a uma temperatura T, de forma abrupta, por uma pressão externa constante P até reduzir seu volume à metade do volume inicial, ficando em equilíbrio com a pressão externa ao final do processo. Sendo R a constante universal dos gases, o trabalho de compressão desse gás é dado por:
a) RT
b) \mathrm{RT} / 2
c) RT \ln 2
d) \mathrm{RT} / \mathrm{P}
e) 2 R T / P

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados fornecidos:
    • Um mol de gás ideal.
    • Processo isotérmico à temperatura \,T.
    • Compressão feita de forma abrupta por uma pressão externa constante P.
    • O volume final é a metade do volume inicial: \,V_f = \tfrac{V_i}{2}.
    • Ao final, o gás fica em equilíbrio com a pressão externa (ou seja, a pressão final do gás é \,P).
    • A constante universal dos gases é R.
  • Pergunta:
    • Qual é o trabalho de compressão desse gás? (Escolher a expressão correta entre as alternativas.)

Passo 2

Vamos relacionar pressões e volumes iniciais/finais usando a equação dos gases ideais para 1 mol:
P_i V_i = R T,
onde P_i é a pressão inicial do gás e V_i o volume inicial; e também
P_f V_f = R T,
onde P_f é a pressão final do gás e V_f o volume final. Aqui R é a constante dos gases e T a temperatura; essas grandezas são as mesmas nas duas equações porque a temperatura é mantida constante.
Expliquei: a equação dos gases ideais \,P V = n R T para um mol ( n=1) vira \,P V = R T. Cada variável significa:
  • P: pressão do gás (unidade: Pa),
  • V: volume (m³),
  • R: constante dos gases (J·mol⁻¹·K⁻¹),
  • T: temperatura absoluta (K).

Passo 3

Usando \,V_f = \tfrac{V_i}{2} e o fato dado de que ao final o gás está em equilíbrio com a pressão externa P, temos
P_f = P.
Pela equação dos gases para o estado final:
P = P_f = \frac{R T}{V_f} = \frac{R T}{V_i/2} = \frac{2 R T}{V_i}.
Da equação dos gases para o estado inicial obtemos
P_i = \frac{R T}{V_i}.
Comparando as duas expressões, vemos que
P_i = \frac{R T}{V_i} = \frac{P}{2}.
Ou seja, a pressão inicial do gás é \,P/2. Isso faz sentido: uma pressão externa P maior que P_i comprime o gás até que a pressão interna suba e fique igual a P.

Passo 4

Agora expressamos V_i em função de P e T. Da expressão P = \dfrac{2 R T}{V_i} isolamos V_i:
V_i = \frac{2 R T}{P}.
Expliquei: isolar V_i é só rearranjar a igualdade multiplicando ambos os lados por V_i e dividindo por P.

Passo 5

Qual é a fórmula do trabalho feito sobre o gás por uma pressão externa constante? Quando a pressão externa é constante \,P_{\text{ext}}, o trabalho total realizado sobre o gás (trabalho de compressão, positivo quando efetuado sobre o sistema) é
W = P_{\text{ext}}\,(V_i - V_f).
Aqui tomei a convenção: trabalho positivo quando realizam trabalho sobre o gás (compressão). Se quisesse o trabalho feito pelo gás, seria o negativo dessa expressão.
Explicando a origem: para um deslocamento infinitesimal o trabalho é dW = -P_{\text{ext}}\,dV no sinal convencional de trabalho pelo sistema; integrando com a convenção de trabalho sobre o sistema e para P_{\text{ext}} constante obtemos W = P_{\text{ext}}(V_i - V_f).

Passo 6

Substituindo V_f = \tfrac{V_i}{2} na fórmula do trabalho:
W = P\,(V_i - V_f) = P\left(V_i - \frac{V_i}{2}\right) = P\left(\frac{V_i}{2}\right) = \frac{P V_i}{2}.

Passo 7

Agora substituímos V_i = \dfrac{2 R T}{P} (do Passo 4) em W:
W = \frac{P}{2}\cdot V_i = \frac{P}{2}\cdot\frac{2 R T}{P}.
Fazendo as simplificações (o P cancela com 1/P e o 2 cancela com 1/2):
W = R T.

Passo 8

Interpretando: o trabalho de compressão feito sobre o gás no processo descrito (compressão abrupta por pressão externa constante P até metade do volume, com equilíbrio final P) é \,W = R T. Note que este resultado difere do trabalho em um processo isotérmico reversível (quase-estático), cujo módulo seria \,R T\ln 2; aqui, por ser compressão abrupta com P_{\text{ext}} constante, o trabalho é simplesmente P\Delta V com os valores dados, levando a \,R T.

Resposta

a) R T

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