Uma sala de
deve ser aquecida por um aquecedor de resistência. É desejável que o aquecedor seja capaz de elevar a temperatura do ar na sala de
para
em 20 minutos. Supondo que não haja perdas de calor da sala e que a pressão atmosférica seja de
, determine a potência necessária do aquecedor se a) a casa é bem vedada e nenhuma massa de ar escapa, b) alguma massa de ar escapa pelas fendas. Suponha calores específicos constantes na temperatura ambiente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dimensões da sala:
. Logo o volume é
- Temperaturas inicial e final:
- Variação de temperatura:
- Tempo disponível:
minutos . - Pressão atmosférica (fornecida):
- Suposições dadas: calores específicos constantes na temperatura ambiente; desprezar perdas de calor (no caso a) e no caso b) há vazamentos de ar).
- O que se pede: potência necessária do aquecedor (energia por unidade de tempo) para elevar a temperatura conforme acima, nos dois casos:
a) sala bem vedada (nenhuma massa de ar escapa);
b) alguma massa de ar escapa pelas fendas (situação com vazamento).
Observação: vou usar valores típicos constantes para o ar (aproximações usuais, coerentes com “calores específicos constantes”):
Passo 2
Calcular a massa de ar inicialmente presente na sala (necessário para converter calor por massa em calor total). Uso a equação dos gases ideais na condição inicial:
Substituindo os números:
Portanto
Explicação pedagógica rápida: a equação
relaciona pressão, volume e temperatura para uma massa
de gás ideal;
é a constante específica do ar. Fiz as contas passo a passo para obter
.
Passo 3
Caso (a) — sala bem vedada (nenhuma massa de ar escapa).
Raciocínio físico: se a massa de ar é constante e o volume é fixo (sala é um contêiner rígido), o calor fornecido pelo aquecedor vai para aumentar a energia interna do ar. Para um gás ideal a variação de energia interna específica é dada por
onde
é o calor específico a volume constante (unidade
). Assim o calor total necessário é
Cálculo numérico:
Potência necessária (energia dividida pelo tempo):
Interpretação didática:
aparece porque o volume do ar na sala não muda (a sala é rígida) e massa é constante; a energia interna do gás depende apenas da temperatura para um gás ideal, por isso usamos
.
Passo 4
Caso (b) — alguma massa de ar escapa pelas fendas.
Raciocínio físico e justificativa do método: quando há vazamentos e a sala está em comunicação com a atmosfera, ao aquecer o ar a pressão dentro tende a permanecer aproximadamente igual à pressão atmosférica (pois o ar pode escapar). Nesse tipo de aquecimento há além do aumento da energia interna também trabalho associado ao escoamento/expansão do ar (o “flow work” que aparece como
). A grande ideia prática e habitual é que, por unidade de massa de ar que é aquecida sob pressão constante, o calor que se deve fornecer é
onde
é o calor específico a pressão constante, porque a entalpia por unidade de massa
muda como
para gás ideal. Assim, para aquecer a massa que está na sala (considerando que parte escapa e a expansão devida é sustentada pelo troco de entalpia), toma-se o calor necessário por massa como
. Na prática de exercícios elementares esta troca faz com que se use
no lugar de
quando há escoamento/expansão para a atmosfera.
(Aviso breve: um tratamento rigoroso do processo transiente de escoamento requer balanço de energia de volume de controle; a conclusão prática e padrão para exercícios é que o aquecedor deve fornecer aproximadamente
, com
a massa inicial — essa é a interpretação pedestre que o enunciado quer.)
Cálculo numérico usando
:
Potência necessária:
Explicação didática curta: a diferença entre os casos é que em (a) o calor aumenta apenas a energia interna (usa-se
), enquanto em (b) além de aumentar a energia interna há a contribuição do trabalho associado à expansão/saída de ar; por isso se usa
, que é maior, resultando em potência maior.
Passo 5
Resumo numérico e comparação (passos de verificação):
- Massa inicial calculada:
- Energia total e potência:
- Caso (a):
, (arredondando: ). - Caso (b):
, (arredondando: ).
- Caso (a):
Interpretação motivadora: vazamentos aumentam a potência necessária — aqui o fator é aproximadamente
, então o aquecedor precisa ser significativamente mais potente se o ambiente não for bem vedado. Você consegue: vedar bem a sala reduz a potência exigida!
Resposta
a)
b)