Uma sala de 4 m \times 5 m \times 6 m deve ser aquecida por um aquecedor de resistência. É desejável que o aquecedor seja capaz de elevar a temperatura do ar na sala de 5^{0} \mathrm{C} para 30^{0} \mathrm{C} em 20 minutos. Supondo que não haja perdas de calor da sala e que a pressão atmosférica seja de 100 k P a, determine a potência necessária do aquecedor se a) a casa é bem vedada e nenhuma massa de ar escapa, b) alguma massa de ar escapa pelas fendas. Suponha calores específicos constantes na temperatura ambiente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dimensões da sala: 4\\ \mathrm{m}\times5\\ \mathrm{m}\times6\\ \mathrm{m}. Logo o volume é
V = 4\cdot5\cdot6 = 120\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperaturas inicial e final:
T_{1}=5^{\circ}\mathrm{C}=278{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{2}=30^{\circ}\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_{2}-T_{1}=25\\ \mathrm{K}.
  • Tempo disponível: 20 minutos =1200\\ \mathrm{s}.
  • Pressão atmosférica (fornecida): p=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Suposições dadas: calores específicos constantes na temperatura ambiente; desprezar perdas de calor (no caso a) e no caso b) há vazamentos de ar).
  • O que se pede: potência necessária do aquecedor (energia por unidade de tempo) para elevar a temperatura conforme acima, nos dois casos:
    a) sala bem vedada (nenhuma massa de ar escapa);
    b) alguma massa de ar escapa pelas fendas (situação com vazamento).
Observação: vou usar valores típicos constantes para o ar (aproximações usuais, coerentes com “calores específicos constantes”):
c_{p}=1005\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}},\qquad c_{v}=718\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}},\qquad R=c_{p}-c_{v}=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.

Passo 2

Calcular a massa de ar inicialmente presente na sala (necessário para converter calor por massa em calor total). Uso a equação dos gases ideais na condição inicial:
pV = m R T_{1}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{pV}{R T_{1}}.
Substituindo os números:
pV = 100000\cdot120 = 12\,000\,000\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}} = 12\,000\,000\\ \mathrm{J},
R T_{1}=287\cdot278{,}15 = 79\,829{,}05\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Portanto
m=\frac{12\,000\,000}{79\,829{,}05}\approx150{,}33\\ \mathrm{kg}.
Explicação pedagógica rápida: a equação pV=mRT relaciona pressão, volume e temperatura para uma massa m de gás ideal; R é a constante específica do ar. Fiz as contas passo a passo para obter m.

Passo 3

Caso (a) — sala bem vedada (nenhuma massa de ar escapa).
Raciocínio físico: se a massa de ar é constante e o volume é fixo (sala é um contêiner rígido), o calor fornecido pelo aquecedor vai para aumentar a energia interna do ar. Para um gás ideal a variação de energia interna específica é dada por
\Delta u = c_{v}\,\Delta T,
onde c_{v} é o calor específico a volume constante (unidade \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}). Assim o calor total necessário é
Q = m\,c_{v}\,\Delta T.
Cálculo numérico:
c_{v}\,\Delta T = 718\cdot25 = 17\,950\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Q = 150{,}33\cdot17\,950 \approx 2\,698\,424\\ \mathrm{J}.
Potência necessária (energia dividida pelo tempo):
P_{a}=\frac{Q}{t}=\frac{2\,698\,424}{1200}\approx2\,248{,}69\\ \mathrm{W}\approx2{,}25\\ \mathrm{kW}.
Interpretação didática: c_{v} aparece porque o volume do ar na sala não muda (a sala é rígida) e massa é constante; a energia interna do gás depende apenas da temperatura para um gás ideal, por isso usamos m c_{v}\Delta T.

Passo 4

Caso (b) — alguma massa de ar escapa pelas fendas.
Raciocínio físico e justificativa do método: quando há vazamentos e a sala está em comunicação com a atmosfera, ao aquecer o ar a pressão dentro tende a permanecer aproximadamente igual à pressão atmosférica (pois o ar pode escapar). Nesse tipo de aquecimento há além do aumento da energia interna também trabalho associado ao escoamento/expansão do ar (o “flow work” que aparece como p\,v). A grande ideia prática e habitual é que, por unidade de massa de ar que é aquecida sob pressão constante, o calor que se deve fornecer é
\Delta h = c_{p}\,\Delta T,
onde c_{p} é o calor específico a pressão constante, porque a entalpia por unidade de massa h=u+pv muda como dh=c_{p}dT para gás ideal. Assim, para aquecer a massa que está na sala (considerando que parte escapa e a expansão devida é sustentada pelo troco de entalpia), toma-se o calor necessário por massa como c_{p}\Delta T. Na prática de exercícios elementares esta troca faz com que se use c_{p} no lugar de c_{v} quando há escoamento/expansão para a atmosfera.
(Aviso breve: um tratamento rigoroso do processo transiente de escoamento requer balanço de energia de volume de controle; a conclusão prática e padrão para exercícios é que o aquecedor deve fornecer aproximadamente m\,c_{p}\Delta T, com m a massa inicial — essa é a interpretação pedestre que o enunciado quer.)
Cálculo numérico usando c_{p}:
c_{p}\,\Delta T = 1005\cdot25 = 25\,125\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Q_{\text{vazamento}} = m\\ c_{p}\,\Delta T = 150{,}33\cdot25\,125 \approx 3\,777\,041\\ \mathrm{J}.
Potência necessária:
P_{b}=\frac{Q_{\text{vazamento}}}{t}=\frac{3\,777\,041}{1200}\approx3\,147{,}53\\ \mathrm{W}\approx3{,}15\\ \mathrm{kW}.
Explicação didática curta: a diferença entre os casos é que em (a) o calor aumenta apenas a energia interna (usa-se c_{v}), enquanto em (b) além de aumentar a energia interna há a contribuição do trabalho associado à expansão/saída de ar; por isso se usa c_{p}=c_{v}+R, que é maior, resultando em potência maior.

Passo 5

Resumo numérico e comparação (passos de verificação):
  • Massa inicial calculada: m\approx150{,}33\\ \mathrm{kg}.
  • Energia total e potência:
    • Caso (a): Q_{a}\approx2{,}698\times10^{6}\\ \mathrm{J}, P_{a}\approx2{,}249\\ \mathrm{W} (arredondando: 2{,}25\\ \mathrm{kW}).
    • Caso (b): Q_{b}\approx3{,}777\times10^{6}\\ \mathrm{J}, P_{b}\approx3{,}148\\ \mathrm{W} (arredondando: 3{,}15\\ \mathrm{kW}).
Interpretação motivadora: vazamentos aumentam a potência necessária — aqui o fator é aproximadamente \dfrac{c_{p}}{c_{v}}\approx1{,}4, então o aquecedor precisa ser significativamente mais potente se o ambiente não for bem vedado. Você consegue: vedar bem a sala reduz a potência exigida!

Resposta

a) P \approx 2,25\\ \mathrm{kW}
b) P \approx 3,15\\ \mathrm{kW}

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