A base, com 8 mm de espessura, de uma chapa de aquecimento com diâmetro de 150 mm pode ser feita com aço inoxidável ( \mathrm{k}=16 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) ou ferro fundido ( \mathrm{k}=55 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ). Quando utilizada para aquecer óleo, a superfície da base em contato com o óleo encontrase a 180^{\circ} \mathrm{C}. Se o calor é transferido da chapa para o óleo a uma taxa de 450 W , qual é a temperatura da superfície em contato com a fonte de calor para cada um dos dois materiais?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Espessura da base: L=8\\ \text{mm} = 0{,}008\\ \text{m}.
    • Diâmetro da chapa: D=150\\ \text{mm} = 0{,}150\\ \text{m}.
    • Taxa de calor transferido para o óleo: \dot{Q}=450\\ \text{W}.
    • Temperatura da superfície em contato com o óleo: T_{\text{oíl}}=180^\circ\mathrm{C}í.
    • Condutividades térmicas fornecidas:
      • Aço inoxidável: k=16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
      • Ferro fundido: k=55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a temperatura da superfície em contato com a fonte de calor (ou seja, a superfície oposta à do óleo) para cada um dos dois materiais.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula curta e direta).
Quando temos condução de calor unidimensional através de uma placa de espessura L e condutividade k, em regime estacionário e com gradiente linear de temperatura, a lei de Fourier reduz-se a:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{T_{\text{fonte}}-T_{\text{oíl}}}{L},í
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (W),
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W/(m\cdot K)}),
  • A é a área da seção transversal pela qual o calor atravessa ( \text{m}^2),
  • L é a espessura ( \text{m}),
  • T_{\text{fonte}} é a temperatura da superfície em contato com a fonte (o que queremos),
  • T_{\text{oíl}}í é a temperatura da superfície em contato com o óleo (dada).
Isolando T_{\text{fonte}}:
T_{\text{fonte}} = T_{\text{oíl}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k\,A}.í
Explicação das unidades: \dot{Q} em W = J/s, k em \mathrm{W/(m\cdot K)}, A em m ^2, L em m. Então \dfrac{\dot{Q}L}{kA} tem dimensão de kelvin, como desejado.

Passo 3

Cálculo da área da chapa (já que a transferência ocorre pela face circular de diâmetro D).
A área de um círculo é:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}150\\ \text{m}:
A = \frac{\pi (0{,}150)^{2}}{4} = \pi \cdot 0{,}005625 = 0{,}017671\ldots\\ \text{m}^{2}.
Vou manter algumas casas significativas nos cálculos numéricos seguintes, mas este é o valor de A.

Passo 4

Cálculo para o aço inoxidável ( k=16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Usando a fórmula
T_{\text{fonte}} = T_{\text{oíl}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k\,A},í
substituindo os valores:
\dot{Q}L = 450\cdot 0{,}008 = 3{,}6\\ \text{(W}\cdot\text{m)}.
kA = 16 \cdot 0{,}017671\ldots = 0{,}282743\ldots
\Delta T = \frac{\dot{Q}L}{kA} = \frac{3{,}6}{0{,}282743\ldots} \approx 12{,}736\\ \text{K}.
Portanto
T_{\text{fonte}} = 180^\circ\mathrm{C} + 12{,}736\\ \text{K} \approx 192{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo para o ferro fundido ( k=55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Repetindo a fórmula com k=55:
kA = 55 \cdot 0{,}017671\ldots = 0{,}971930\ldots
\Delta T = \frac{\dot{Q}L}{kA} = \frac{3{,}6}{0{,}971930\ldots} \approx 3{,}704\\ \text{K}.
Portanto
T_{\text{fonte}} = 180^\circ\mathrm{C} + 3{,}704\\ \text{K} \approx 183{,}7^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: Como esperado, o material com maior condutividade térmica (ferro fundido, k=55) apresenta uma queda de temperatura muito menor através da base, então a superfície que toca a fonte precisa estar menos quente do que no caso do aço inoxidável ( k=16). Bom trabalho — já dá pra ver que a condutividade faz muita diferença na resistência térmica da placa!

Resposta

Aço inoxidável ( k=16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}): T_{\text{fonte}}\approx 192{,}7^\circ\mathrm{C}
Ferro fundido ( k=55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}): T_{\text{fonte}}\approx 183{,}7^\circ\mathrm{C}