(a) Com base no exemplo da partícula sob a ação da força
, explique como a variação do parâmetro
afeta o comportamento da velocidade da partícula.
(b) Qual a diferença fundamental entre o caso em que a força é aplicada com intensidade constante e o caso em que a intensidade é
?
(b) Qual a diferença fundamental entre o caso em que a força é aplicada com intensidade constante e o caso em que a intensidade é
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: \n
(a) explicar como a variação do parâmetro afeta o comportamento da velocidade de uma partícula sujeita a uma força
; \n
(b) explicar a diferença fundamental entre aplicar a força com intensidade constante e aplicar com intensidade proporcional a . \n
Informações relevantes (explicitadas para que a solução seja concreta): \n
(a) explicar como a variação do parâmetro
(b) explicar a diferença fundamental entre aplicar a força com intensidade constante e aplicar com intensidade proporcional a
Informações relevantes (explicitadas para que a solução seja concreta): \n
- Temos uma partícula de massa
sujeita à segunda lei de Newton . \n - O enunciado não dá a forma exata de
. Vou trabalhar com o exemplo canônico usado em teoria de impulsos: uma família de pulsos localizados em torno de cuja duração é da ordem de . Dois casos serão usados como exemplos para ilustrar claramente o efeito: \n - pulso retangular com amplitude constante
e duração : para e caso contrário; \n - pulso retangular com amplitude
e duração : para e caso contrário. \n
Essas escolhas são padrão para explicar a ideia de impulso e do limite formal que gera uma força do tipo delta de Dirac. Não vou usar informação de figura faltante — as expressões acima são autoconsistentes para responder (a) e (b).
- pulso retangular com amplitude constante
Passo 2
Recordando a relação entre força e variação de velocidade (impulso): integrar a equação de movimento nos dá a mudança de velocidade em função da área do pulso de força. \n
Partimos de .\n
Integramos ambos os lados entre e
(com
, i.e., depois do pulso): \n
Partimos de
Integramos ambos os lados entre
Define-se o impulso
como a integral da força no tempo: \n
Então a mudança da velocidade é \n
Essa fórmula é central: a variação de velocidade depende apenas da integral (área) da força no tempo, não dos detalhes instantâneos da forma do pulso.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos exemplos concretos para ver o papel de
. \n
Caso 1 — amplitude constante , duração
: \n
Caso 1 — amplitude constante
Logo
Se
com
fixo, então
. Ou seja: um pulso cada vez mais curto, mas com intensidade fixa, produz impulso cada vez menor — praticamente nenhum efeito na velocidade no limite.
Caso 2 — amplitude
, duração
: \n
Logo
Aqui a mudança de velocidade não depende de
: conforme
o pulso fica mais curto e mais alto, mas a área (o impulso) permanece igual a
. No limite
a força converge, no sentido de distribuições, para uma delta de Dirac
(multiplicada pela área), e a velocidade sofre um salto instantâneo de
.
Passo 4
Interpretação física e matemática do limite
. \n
- Se
quando (por exemplo amplitude fixa), o pulso não produz efeito significativo no momento da partícula: a velocidade se altera muito pouco. \n - Se
finito e não nulo (por exemplo amplitude com integral fixa), então no limite a força age como um impulso concentrado em tempo zero. Matematicamente obtemos em distribuições, e a equação integrada dá um salto na velocidade: . \n - Se a amplitude cresce mais rápido, por exemplo
com , a área pode divergir e a mudança de velocidade pode divergir (comportamento não físico sem modelagem adequada).
Passo 5
Explicação didática do porquê a mudança de velocidade depende só da integral da força (intuição): \n
- A segunda lei
diz que a taxa de variação do momento é a força instantânea. A integral dessa taxa no tempo acumula todos os incrementos: é como somar pequenos empurrões. \n - Cada empurrão infinitesimal
contribui para . Somando (integrando) todos esses pequenos obtemos o total . \n - Assim, mesmo que a força seja gigantesca por um tempo minúsculo, se a área total for pequena, o efeito total na velocidade também será pequeno; se a área for fixa e independente de
, o efeito será fixo.
Passo 6
Comentário prático para provas e intuição rápida: \n
- Sempre calcule o impulso
. Esse é o caminho mais rápido para saber o efeito na velocidade. \n - Se a família
tem forma com fixo, então independente de e . É a construção clássica que gera o delta de Dirac: . \n - Se
não for escalada e apenas comprimida (amplitude fixa), então quando .
Passo 7
Breve observação sobre energia (para não esquecer na prova): \n
- O impulso controla a variação do momento/velocidade. A variação de energia cinética depende de
. Se a força é muito intensa por tempo muito curto, o produto pode ser complicado de avaliar (depende de como muda durante o pulso). \n - No modelo de impulso ideal (delta), tratamos apenas a mudança do momento; para energia às vezes é preciso modelar a forma do pulso com mais cuidado.
Resposta
(a) A variação da velocidade é dada por
. Se o pulso tem amplitude fixa e duração
, então
quando
; se a amplitude escala como
com duração
, a integral (o impulso) é independente de
e
permanece finita, produzindo no limite um salto instantâneo na velocidade (impulso).\n
(b) A diferença fundamental é que intensidade constante com duração gera um impulso que tende a zero quando
(nenhum efeito significativo), enquanto intensidade
é ajustada para manter a área da força fixa: no limite isso produz uma força impulsiva equivalente a uma delta de Dirac, causando um salto instantâneo e finito na velocidade (mudança de momento controlada pelo impulso).
(b) A diferença fundamental é que intensidade constante com duração