Com base na lei do inverso do quadrado da distância e na lei de Stefan-Boltzman para emitância instantânea, calcule a densidade de fluxo radiativo do Sol que chega ao planeta Júpiter. Apresente o resultado em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}.
A distância Sol-Júpiter é 5,2 vezes maior que a da Terra. Compare o fluxo de Júpiter com o que chega ao nosso planeta ( 1.356 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} ), em número de vezes.
Dados:
Temperatura do Sol ( \mathrm{T}_{\text {sol }} ): 5500^{\circ} \mathrm{C}
Raio do Sol ( \mathrm{R}_{\text {Sol }} ): 6,96 \times 10^{8} \mathrm{~m}
Distância Sol-Júpiter (d): 778.330 .000 km

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    1. Calcular a densidade de fluxo radiativo do Sol que chega ao planeta Júpiter, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
    2. Comparar esse fluxo com o que chega à Terra (valor fornecido pelo enunciado), expressando a comparação em “número de vezes”.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do Sol: T_{\text{Sol}} = 5500^\circ\mathrm{C}.
    • Raio do Sol: R_{\text{Sol}} = 6{,}96\times10^{8}\\ \mathrm{m}.
    • Distância Sol–Júpiter: d = 778\,330\,000\\ \mathrm{km}.
    • Fluxo solar na Terra (fornecido): F_{\oplus} = 1{,}356\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} (interpreto isto como 1356\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}, valor típico do “constante solar”).
  • Observações de preparação:
    • Converter temperatura para Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
    • Converter distância em metros: 1\\ \mathrm{km}=10^{3}\\ \mathrm{m}.
    • Fórmulas que vamos usar (explicadas nos passos seguintes).

Passo 2

Conceitos-chave e a lei de Stefan–Boltzmann (aula rápida e aplicada).
  • A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área de uma superfície ideal (corpo negro) é
E = \sigma T^{4},
onde:
  • E é a emitância radiativa (potência por área) da superfície do corpo, em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2;
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • O Sol pode ser tratado, em primeira aproximação, como uma bola que emite isotropicamente. A luminosidade total (potência total emitida) do Sol é a emitância por unidade de área vezes a área da superfície esférica do Sol:
L = 4\pi R_{\text{Sol}}^{2}\,E = 4\pi R_{\text{Sol}}^{2}\,\sigma T^{4}.
  • A densidade de fluxo (irradiância) a uma distância d do Sol é a potência total dividida pela área da esfera de raio d:
F(d)=\frac{L}{4\pi d^{2}}=\sigma T^{4}\,\frac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}}.
Isto mostra a coisa bonita: não é preciso calcular L separadamente — pode-se usar diretamente \sigma T^{4}(R_{\text{Sol}}^{2}/d^{2}). A dependência com a distância é a lei do inverso do quadrado.

Passo 3

Converter os dados e calcular a emitância superficial do Sol E_{\text{Sol}}=\sigma T^{4}.
  • Converter temperatura:
T_{\text{Sol}} = 5500^\circ\mathrm{C} \quad\Rightarrow\quad T_{\text{Sol}} = 5500 + 273{,}15 = 5773{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Valor de \sigma:
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}.
  • Calcular T^{4} (passo numérico explicado):
    • Primeiro T^{2}\approx 5773{,}15^{2}\approx 3{,}3329\times10^{7}.
    • Em seguida T^{4}=(T^{2})^{2}\approx (3{,}3329\times10^{7})^{2}\approx 1{,}1109\times10^{15}.
  • Agora a emitância superficial:
E_{\text{Sol}}=\sigma T^{4}\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\times 1{,}1109\times10^{15}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Multiplicando (mostrando a conta):
    • 5{,}670374419\times 1{,}1109 \approx 6{,}2998,
    • portanto
E_{\text{Sol}}\approx 6{,}2998\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
(Isto é a potência por metro quadrado na superfície solar.)

Passo 4

Converter d para metros e calcular a razão geométrica \dfrac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}}.
  • Converter distância Sol–Júpiter em metros:
d = 778\,330\,000\\ \mathrm{km} = 778\,330\,000\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 7{,}7833\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular R_{\text{Sol}}^{2} e d^{2}:
    • R_{\text{Sol}}^{2} = (6{,}96\times10^{8}\\ \mathrm{m})^{2} = 4{,}84416\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{2}.
    • d^{2} = (7{,}7833\times10^{11}\\ \mathrm{m})^{2} \approx 6{,}05798\times10^{23}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Razão geométrica:
\frac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}} \approx \frac{4{,}84416\times10^{17}}{6{,}05798\times10^{23}} \approx 7{,}997\times10^{-7}.

Passo 5

Calcular o fluxo que chega a Júpiter usando F=\sigma T^{4}\dfrac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}}.
  • Usando os números calculados:
    • E_{\text{Sol}}\approx 6{,}2998\times10^{7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
    • \dfrac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}}\approx 7{,}997\times10^{-7}.
  • Multiplicando:
F_{\text{Júpiter}} = E_{\text{Sol}}\times\frac{R_{\text{Sol}}^{2}}{d^{2}} \approx 6{,}2998\times10^{7}\times 7{,}997\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.ú
  • Resultado numérico:
    • 6{,}2998\times 7{,}997 \approx 50{,}4,
    • portanto
F_{\text{Júpiter}} \approx 50{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.ú
(Isto confirma a estimativa rápida usando a lei do inverso do quadrado com fator 5{,}2: F_{\text{Júpiter}}\approx F_{\oplus}/(5{,}2^{2})ú, pois 1356/27{,}04\approx50{,}2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.)

Passo 6

Comparação com o fluxo na Terra (em número de vezes).
  • Usando o valor fornecido para a Terra F_{\oplus}=1356\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}:
\text{razão} \equiv \frac{F_{\text{Júpiter}}}{F_{\oplus}} \approx \frac{50{,}4}{1356} \approx 0{,}0372.ãú
Isto significa que o fluxo em Júpiter é aproximadamente 0{,}0372 vezes o fluxo que chega à Terra — ou, dito de outra forma, a Terra recebe cerca de
\frac{F_{\oplus}}{F_{\text{Júpiter}}}\approx \frac{1356}{50{,}4}\approx 26{,}9ú
vezes mais fluxo solar do que Júpiter (ou Júpiter recebe cerca de 1/26{,}9 do fluxo terrestre).

Resposta

\displaystyle F_{\text{Júpiter}}\approx 50{,}4\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}ú
\displaystyle F_{\text{Júpiter}}\approx 0{,}0372\times F_{\oplus}\\ \text{(ou seja, Júpiter recebe cerca de 26{,}9 vezes menos fluxo que a Terra)}úú

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