Com base na regra da cadeia resolva:
Se a trajetória nas coordenadas curvilíneas é dada como
, onde
é uma função conhecida de tempo, determine
.
Se a trajetória nas coordenadas curvilíneas é dada como
Passo 1
O enunciado dá a trajetória nas coordenadas curvilíneas como
, onde
é uma função conhecida do tempo. A pergunta é: determinar
, ou seja, a segunda derivada temporal de
(a aceleração radial).
Informações relevantes:
-
é função de : . -
é função do tempo: . - Deve-se expressar
em termos de , e .
Passo 2
Conceito útil 1 — regra da cadeia (aula rápida e intuiva):
Se uma quantidade depende de
e
depende de
, isto é
e
, então a derivada de
em relação a
é dada por
Se uma quantidade
Exemplo simples: se
e
, então
. A ideia é: derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter
(primeira derivada temporal):
Primeiro calculo a derivada de em relação a
:
Primeiro calculo a derivada de
Agora aplico a regra da cadeia para passar para a derivada em relação ao tempo:
Passo 4
Conceito útil 2 — regra do produto:
Se , então
Se
Vou usar isso porque
é produto de
por
(com constante 10).
Passo 5
Calcular
(segunda derivada temporal) aplicando a regra do produto a
:
Agora uso a regra do produto em
:
Portanto
Passo 6
(Verificação alternativa curta: fórmula geral)
Há também uma forma direta pela regra da cadeia para segunda derivada:
Há também uma forma direta pela regra da cadeia para segunda derivada:
Aqui
e
. Substituindo,
o que coincide com o resultado anterior (boa checagem).