Com base na regra da cadeia resolva:
Se a trajetória nas coordenadas curvilíneas é dada como r=5 \theta^{2}, onde \theta é uma função conhecida de tempo, determine \ddot{r}.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória nas coordenadas curvilíneas como r=5\theta^{2}, onde \theta=\theta(t) é uma função conhecida do tempo. A pergunta é: determinar \ddot{r}, ou seja, a segunda derivada temporal de r (a aceleração radial).
Informações relevantes:
  • r é função de \theta: r(\theta)=5\theta^{2}.
  • \theta é função do tempo: \theta=\theta(t).
  • Deve-se expressar \ddot{r} em termos de \theta, \dot{\theta} e \ddot{\theta}.

Passo 2

Conceito útil 1 — regra da cadeia (aula rápida e intuiva):
Se uma quantidade y depende de u e u depende de t, isto é y=y(u) e u=u(t), então a derivada de y em relação a t é dada por
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dt}.
Exemplo simples: se y=u^{2} e u=u(t), então \dfrac{dy}{dt}=2u\cdot\dot{u}. A ideia é: derivar a função externa e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter \dot{r} (primeira derivada temporal):
Primeiro calculo a derivada de r em relação a \theta:
\frac{dr}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\big(5\theta^{2}\big)=10\theta.
Agora aplico a regra da cadeia para passar para a derivada em relação ao tempo:
\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\,\frac{d\theta}{dt}=10\theta\dot{\theta}.

Passo 4

Conceito útil 2 — regra do produto:
Se y(t)=u(t)v(t), então
\dot{y}=\dot{u}v+u\dot{v}.
Vou usar isso porque \dot{r}=10\theta\dot{\theta} é produto de \theta por \dot{\theta} (com constante 10).

Passo 5

Calcular \ddot{r} (segunda derivada temporal) aplicando a regra do produto a \dot{r}=10\theta\dot{\theta}:
\ddot{r}=\frac{d}{dt}\big(10\theta\dot{\theta}\big)=10\frac{d}{dt}\big(\theta\dot{\theta}\big).
Agora uso a regra do produto em \theta\dot{\theta}:
\frac{d}{dt}\big(\theta\dot{\theta}\big)=\dot{\theta}\dot{\theta}+\theta\ddot{\theta}=\dot{\theta}^{2}+\theta\ddot{\theta}.
Portanto
\ddot{r}=10\big(\dot{\theta}^{2}+\theta\ddot{\theta}\big).

Passo 6

(Verificação alternativa curta: fórmula geral)
Há também uma forma direta pela regra da cadeia para segunda derivada:
\ddot{r}=\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}}\dot{\theta}^{2}+\frac{dr}{d\theta}\ddot{\theta}.
Aqui \dfrac{dr}{d\theta}=10\theta e \dfrac{d^{2}r}{d\theta^{2}}=10. Substituindo,
\ddot{r}=10\dot{\theta}^{2}+10\theta\ddot{\theta}=10\big(\dot{\theta}^{2}+\theta\ddot{\theta}\big),
o que coincide com o resultado anterior (boa checagem).

Resposta

\ddot{r}=10\big(\dot{\theta}^{2}+\theta\ddot{\theta}\big)

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