Com base na regra da cadeia resolva:
Se r^{2}=6 \theta^{3}, determine \ddot{r}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre r e \theta:
r^{2}=6\,\theta^{3}.
O que pede: calcular \ddot{r}, isto é, a segunda derivada de r em relação ao tempo t.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • r=r(t) e \theta=\theta(t) dependem do tempo.
  • Notação: \dot{r}=\dfrac{dr}{dt}, \ddot{r}=\dfrac{d^{2}r}{dt^{2}}, \dot{\theta}=\dfrac{d\theta}{dt}, \ddot{\theta}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.

Passo 2

Primeira ação concreta: derivar a relação dada em relação ao tempo para obter \dot{r}. Vou aplicar a regra da cadeia/derivação implícita. Explicando a regra usada: se uma quantidade depende do tempo através de outra variável, diferenciar essa quantidade em relação ao tempo pede multiplicar pela derivada dessa variável (ex.: \dfrac{d}{dt}\big(\theta^{3}\big)=3\theta^{2}\dot{\theta}).
Derivando ambos os lados de r^{2}=6\theta^{3} obtemos:
\frac{d}{dt}\big(r^{2}\big)=\frac{d}{dt}\big(6\theta^{3}\big).
À esquerda, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\big(r^{2}\big)=2r\dot{r}.
À direita,
\frac{d}{dt}\big(6\theta^{3}\big)=6\cdot 3\theta^{2}\dot{\theta}=18\theta^{2}\dot{\theta}.
Igualando,
2r\dot{r}=18\theta^{2}\dot{\theta}.
Logo isolando \dot{r},
\dot{r}=\frac{9\theta^{2}\dot{\theta}}{r}.

Passo 3

Agora calculamos \ddot{r}=\dfrac{d}{dt}(\dot{r}). Usamos a expressão encontrada e aplicamos a regra do produto/quociente. Reescrevo \dot{r} como produto:
\dot{r}=9\big(\theta^{2}\dot{\theta}\big)\,r^{-1}.
Aplicando a regra do produto ( (uv)'=u'v+uv'), com u=9\theta^{2}\dot{\theta} e v=r^{-1}, temos
\ddot{r}=u'v+u v'.

Passo 4

Calculo de u' e v' passo a passo.
Primeiro, u=9\theta^{2}\dot{\theta}. Para u' aplico regra do produto em \theta^{2}\dot{\theta}:
\frac{d}{dt}\big(\theta^{2}\dot{\theta}\big)=\frac{d}{dt}(\theta^{2})\cdot\dot{\theta}+\theta^{2}\cdot\ddot{\theta}.
Aqui \frac{d}{dt}(\theta^{2})=2\theta\dot{\theta}. Portanto
\frac{d}{dt}\big(\theta^{2}\dot{\theta}\big)=2\theta\dot{\theta}\cdot\dot{\theta}+\theta^{2}\ddot{\theta}=2\theta\dot{\theta}^{2}+\theta^{2}\ddot{\theta}.
Multiplicando por 9,
u'=9\big(2\theta\dot{\theta}^{2}+\theta^{2}\ddot{\theta}\big)=18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}.
Agora v=r^{-1}. Pela regra da cadeia,
v'=-r^{-2}\dot{r}=-\frac{\dot{r}}{r^{2}}.
Substituindo em \ddot{r}=u'v+u v',
\ddot{r}=\frac{18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}}{r}+9\theta^{2}\dot{\theta}\left(-\frac{\dot{r}}{r^{2}}\right).
Ou seja,
\ddot{r}=\frac{18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}}{r}-\frac{9\theta^{2}\dot{\theta}\,\dot{r}}{r^{2}}.

Passo 5

Agora substituímos \dot{r} (que já tínhamos) para eliminar \dot{r} do lado direito: \dot{r}=\dfrac{9\theta^{2}\dot{\theta}}{r}. Assim
\frac{9\theta^{2}\dot{\theta}\,\dot{r}}{r^{2}} =\frac{9\theta^{2}\dot{\theta}}{r^{2}}\cdot\frac{9\theta^{2}\dot{\theta}}{r} =\frac{81\theta^{4}\dot{\theta}^{2}}{r^{3}}.
Substituindo na expressão de \ddot{r},
\ddot{r}=\frac{18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}}{r}-\frac{81\theta^{4}\dot{\theta}^{2}}{r^{3}}.

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão substituindo r^{2}=6\theta^{3} quando conveniente. Faço redução para uma forma mais compacta. Colocando tudo sobre o denominador comum r^{3}:
\ddot{r}=\frac{\big(18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}\big)r^{2}-81\theta^{4}\dot{\theta}^{2}}{r^{3}}.
Usando r^{2}=6\theta^{3},
\big(18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}\big)r^{2} =(18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta})\cdot 6\theta^{3} =54\theta^{5}\ddot{\theta}+108\theta^{4}\dot{\theta}^{2}.
Subtraindo 81\theta^{4}\dot{\theta}^{2} obtemos
54\theta^{5}\ddot{\theta}+27\theta^{4}\dot{\theta}^{2}=27\theta^{4}\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big).
Portanto
\ddot{r}=\frac{27\theta^{4}\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big)}{r^{3}}.
Como r^{3}=r\cdot r^{2}=r\cdot 6\theta^{3}=6r\theta^{3}, temos finalmente a forma compacta
\ddot{r}=\frac{9}{2}\,\frac{\theta\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big)}{r}.

Passo 7

Se desejar eliminar r completamente, usar r=\sqrt{6}\,\theta^{3/2} (escolhendo a raiz positiva, que é o caso físico usual) e obter
\ddot{r}=\frac{9}{2\sqrt{6}}\,\theta^{-1/2}\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big).
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do que se quer expressar \ddot{r} em função de.

Resposta

\displaystyle \ddot{r}=\frac{18\theta\dot{\theta}^{2}+9\theta^{2}\ddot{\theta}}{r}-\frac{81\theta^{4}\dot{\theta}^{2}}{r^{3}}=\frac{9}{2}\,\frac{\theta\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big)}{r}=\frac{9}{2\sqrt{6}}\,\theta^{-1/2}\big(2\theta\ddot{\theta}+\dot{\theta}^{2}\big)

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