Com base na regra da cadeia resolva:
Se
, determine
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
:
O que pede: calcular
, isto é, a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
-
e dependem do tempo. - Notação:
, , , .
Passo 2
Primeira ação concreta: derivar a relação dada em relação ao tempo para obter
. Vou aplicar a regra da cadeia/derivação implícita. Explicando a regra usada: se uma quantidade depende do tempo através de outra variável, diferenciar essa quantidade em relação ao tempo pede multiplicar pela derivada dessa variável (ex.:
).
Derivando ambos os lados de obtemos:
Derivando ambos os lados de
À esquerda, pela regra da cadeia,
À direita,
Igualando,
Logo isolando
,
Passo 3
Agora calculamos
. Usamos a expressão encontrada e aplicamos a regra do produto/quociente. Reescrevo
como produto:
Aplicando a regra do produto (
), com
e
, temos
Passo 4
Calculo de
e
passo a passo.
Primeiro,
. Para
aplico regra do produto em
:
Aqui
. Portanto
Multiplicando por
,
Agora
. Pela regra da cadeia,
Substituindo em
,
Ou seja,
Passo 5
Agora substituímos
(que já tínhamos) para eliminar
do lado direito:
. Assim
Substituindo na expressão de
,
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão substituindo
quando conveniente. Faço redução para uma forma mais compacta. Colocando tudo sobre o denominador comum
:
Usando
,
Subtraindo
obtemos
Portanto
Como
, temos finalmente a forma compacta
Passo 7
Se desejar eliminar
completamente, usar
(escolhendo a raiz positiva, que é o caso físico usual) e obter
Ambas as formas são equivalentes; a escolha depende do que se quer expressar
em função de.