Com base na regra da cadeia resolva:
Se y=x^{3} e x=t^{4}, determine a segunda derivada de y em relação ao tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
y=x^{3}.
x=t^{4}.
O enunciado pede:
Determinar a segunda derivada de y em relação ao tempo, isto é \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.
Passo 2
Ideia geral (sem iniciar cálculo ainda): como y é função de x e x é função de t, para obter \dfrac{dy}{dt} usa-se a regra da cadeia: derivar y em relação a x e multiplicar pela derivada de x em relação a t. Para a segunda derivada precisamos derivar \dfrac{dy}{dt} em relação a t; ao fazer isso vamos usar a regra do produto e novamente a regra da cadeia. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de y em relação a x e de x em relação a t, usando a regra do poder (power rule): se h(u)=u^{n} então h'(u)=n\,u^{n-1} e h''(u)=n(n-1)u^{n-2}.
Ao derivar em relação a t temos um produto de duas funções dependentes de t (porque x depende de t). Aplicamos a regra do produto: se u(t)v(t), então \dfrac{d}{dt}[u v]=u'\,v+u\,v'. Aqui u(t)=\dfrac{dy}{dx}=3x^{2} (função de x(t)) e v(t)=\dfrac{dx}{dt}=4t^{3}.
Precisamos de u'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(3x^{2}\big). Pela regra da cadeia,
Esta é uma fórmula útil e geral: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\!\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. (Aqui verificou-se que \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x e \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}.)
Passo 6
Agora substituímos os valores de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} e, em seguida, x=t^{4}.
Temos \dfrac{dx}{dt}=4t^{3} e \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=12t^{2}. Substituindo na expressão: