Com base na regra da cadeia resolva:
Se y=x^{3} e x=t^{4}, determine a segunda derivada de y em relação ao tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • y=x^{3}.
  • x=t^{4}.
O enunciado pede:
  • Determinar a segunda derivada de y em relação ao tempo, isto é \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}.

Passo 2

Ideia geral (sem iniciar cálculo ainda): como y é função de x e x é função de t, para obter \dfrac{dy}{dt} usa-se a regra da cadeia: derivar y em relação a x e multiplicar pela derivada de x em relação a t. Para a segunda derivada precisamos derivar \dfrac{dy}{dt} em relação a t; ao fazer isso vamos usar a regra do produto e novamente a regra da cadeia. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de y em relação a x e de x em relação a t, usando a regra do poder (power rule): se h(u)=u^{n} então h'(u)=n\,u^{n-1} e h''(u)=n(n-1)u^{n-2}.
Aplicando isso:
  • Como y=x^{3}, temos
\frac{dy}{dx}=3x^{2}, \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x.
  • Como x=t^{4}, temos
\frac{dx}{dt}=4t^{3}, \qquad \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=12t^{2}.

Passo 4

Usar a regra da cadeia para obter \dfrac{dy}{dt}. A regra da cadeia diz que, se y=f(x) e x=g(t), então
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Substituindo as derivadas que calculamos:
\frac{dy}{dt}=3x^{2}\cdot 4t^{3}=12x^{2}t^{3}.
Lembre que ainda podemos substituir x=t^{4} mais à frente, mas por enquanto guardamos essa forma mista para facilitar a próxima diferenciação.

Passo 5

Derivar \dfrac{dy}{dt} em relação a t para obter a segunda derivada. Pegamos
\frac{dy}{dt}= \underbrace{\frac{dy}{dx}}_{3x^{2}}\cdot\underbrace{\frac{dx}{dt}}_{4t^{3}}.
Ao derivar em relação a t temos um produto de duas funções dependentes de t (porque x depende de t). Aplicamos a regra do produto: se u(t)v(t), então \dfrac{d}{dt}[u v]=u'\,v+u\,v'. Aqui u(t)=\dfrac{dy}{dx}=3x^{2} (função de x(t)) e v(t)=\dfrac{dx}{dt}=4t^{3}.
Precisamos de u'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(3x^{2}\big). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x\cdot\frac{dx}{dt}=6x\cdot\frac{dx}{dt}.
Portanto, aplicando o produto:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=\big(6x\cdot\frac{dx}{dt}\big)\cdot\frac{dx}{dt}+3x^{2}\cdot\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Agrupando,
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+3x^{2}\cdot\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Esta é uma fórmula útil e geral: \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\!\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}. (Aqui verificou-se que \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x e \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}.)

Passo 6

Agora substituímos os valores de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} e, em seguida, x=t^{4}.
Temos \dfrac{dx}{dt}=4t^{3} e \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=12t^{2}. Substituindo na expressão:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6x\big(4t^{3}\big)^{2}+3x^{2}\cdot 12t^{2}.
Calcule os quadrados e multiplicações passo a passo:
\big(4t^{3}\big)^{2}=16t^{6},
então o primeiro termo é
6x\cdot 16t^{6}=96x\,t^{6}.
O segundo termo é
3x^{2}\cdot 12t^{2}=36x^{2}t^{2}.

Passo 7

Finalmente, substituir x=t^{4} em ambos os termos:
96x\,t^{6}=96\,(t^{4})\,t^{6}=96\,t^{10},
36x^{2}t^{2}=36\,(t^{4})^{2}t^{2}=36\,t^{8}t^{2}=36\,t^{10}.
Somando os dois termos:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=96\,t^{10}+36\,t^{10}=132\,t^{10}.

Passo 8

Cheque rápido (opcional de verificação): se compusermos diretamente y=(t^{4})^{3}=t^{12}, então
\frac{dy}{dt}=12t^{11}, \qquad \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=12\cdot 11\,t^{10}=132\,t^{10},
o que concorda com o resultado anterior. Boa sinalização de que os passos com a regra da cadeia e com regra do produto foram feitos corretamente.

Resposta

\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=132\,t^{10}

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