1. Um bastão de latão deve ser usado em uma aplicação que requer que suas extremidades sejam mantidas rígidas. Se a temperatura ambiente \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right) o bastão está livre de tensões, qual é a temperatura máxima até a qual o bastão pode ser aquecido sem que uma tensão de compressão de 172 Mpa seja excedida? \mathrm{E}=100 \mathrm{GPa} . \mathrm{R}=106^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá um bastão de latão com módulo de Young E=100,GPa cujas extremidades estão rigidamente fixas. À temperatura ambiente T_0=20\,^\circ\mathrm{C} ele não tem tensão interna. Ao elevarmos a temperatura haverá expansão térmica impedida, gerando uma tensão de compressão. Precisamos usar o conceito de tensão térmica em corpo restrito, dado pela relação
\sigma = E\,\alpha\,\Delta T,
onde \sigma é a tensão, \alpha (aqui escrita como R) é o coeficiente de dilatação linear, e \Delta T é o aumento de temperatura.

Passo 2

Identificamos os valores numéricos:
\sigma_{\max}=172\text{ MPa}=172\times10^{6}\text{ Pa},\quad E=100\text{ GPa}=100\times10^{9}\text{ Pa},\quad \alpha=R=10\times10^{-6}\,/^\circ\mathrm{C}.
Substituindo em \sigma=E\,\alpha\,\Delta T, obtemos
\Delta T = \frac{\sigma_{\max}}{E\,\alpha}.

Passo 3

Calculemos \Delta T:
\Delta T =\frac{172\times10^{6}}{(100\times10^{9})\,(10\times10^{-6})} =\frac{172\times10^{6}}{100\times10^{9}\times10^{-5}} =\frac{172\times10^{6}}{10^{6}} =172\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

A temperatura máxima T_{\max} é a soma da temperatura inicial com \Delta T:
T_{\max}=T_{0}+\Delta T =20\,^\circ\mathrm{C}+172\,^\circ\mathrm{C} =192\,^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura máxima é 192\,^\circ\mathrm{C}.

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