Uma bateria de fem varepsilon e resistência interna fornece corrente a um aparelho de resistência R. (a) Para que valor de R a potência fornecida é máxima? (b) Para esse valor de R, qual é a relação entre a potência fornecida e aquela dissipada na própria bateria? Resposta: (a) R^prime=r,(b) Pf / Pd=1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bateria com força eletromotriz (fem) varepsilon e resistência interna r, que está fornecendo corrente para um aparelho com resistência R. Precisamos descobrir:
(a) Qual valor de R faz com que a potência fornecida seja máxima?
(b) Para esse valor de R, qual é a relação entre a potência fornecida ao aparelho e a potência dissipada na própria bateria?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente a Lei de Ohm e a fórmula da potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente I em um circuito é dada pela Lei de Ohm:
I = varepsilonR + r
Aqui, R + r é a resistência total do circuito.

Passo 3

A potência elétrica fornecida ao aparelho ( Pf) é dada por:
Pf = I^2 cdot R
Substituindo a expressão da corrente:
Pf = ( varepsilonR + r )^2 cdot R = varepsilon^2 R(R + r)^2

Passo 4

Para encontrar o valor de R que maximiza a potência Pf, precisamos encontrar o ponto onde a derivada de Pf em relação a R é zero. Então, derivamos Pf:
dPfdR = varepsilon^2 (R + r)^2 - varepsilon^2 R cdot 2(R + r)(R + r)^4 = 0
Simplificando a equação:
(R + r)^2 - 2R(R + r) = 0 R + r - 2R = 0 r - R = 0 R = r

Passo 5

Então, o valor de R que maximiza a potência fornecida é quando R = r.

Passo 6

Agora, vamos analisar a relação entre a potência fornecida ao aparelho ( Pf) e a potência dissipada na bateria ( Pd) quando R = r.
A potência dissipada na bateria é dada por:
Pd = I^2 cdot r
Como vimos anteriormente, quando R = r:
I = varepsilonr + r = varepsilon2r
Então:
Pf = ( varepsilon2r )^2 cdot r = varepsilon^24r Pd = ( varepsilon2r )^2 cdot r = varepsilon^24r

Resposta

(a) R = r
(b) PfPd = 1

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