Between
and
, the volume
(in cubic centimeters) of 1 kg of water at a temperature
is given approximately by the formula
Find the temperature at which water has its maximum density.
Passo 1
O enunciado dá a variação aproximada do volume de
kg de água, em centímetros cúbicos, entre
e
:
onde
é a temperatura em graus Celsius. A pergunta é: “Em que temperatura a água tem sua maior densidade?”
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- A função
está definida no intervalo . - Temos massa igual a
kg, logo a densidade é (unidades apropriadas).
O que precisamos encontrar: o valor deno intervalo dado que torna a densidade máxima.
Passo 2
Observação chave (motivação didática): para
kg de água a densidade
é inversamente proporcional ao volume
. Portanto maximizar
é equivalente a minimizar
. Ou seja, procuramos o ponto de temperatura
no intervalo
onde
atinge seu mínimo.
Método prático: procuramos pontos críticos de (onde
ou
não existe) e verificamos qual deles dá mínimo (usando teste da segunda derivada ou comparando valores).
Método prático: procuramos pontos críticos de
Passo 3
Calcule a derivada primeira
. Lembre que a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Explicação rápida:
é a taxa de variação do volume com a temperatura; zeros de
são candidatos a mínimos ou máximos locais.
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
. Colocando em forma padrão (multiplicando por
para
):
Isto é uma equação quadrática
com
Use a fórmula de Bhaskara:
. Primeiro calcule o discriminante:
A raiz do discriminante é aproximadamente
Passo 5
Aplicando a fórmula das raízes:
Calcule as duas soluções:
Interpretação:
está fora do intervalo
, então não nos interessa;
está no intervalo e é candidato.
Passo 6
Verificação de que
dá mínimo de
(logo máximo de densidade).
- Teste da segunda derivada: calcule
Avalie em
:
Como
,
tem um mínimo local em
.
- Confirmação comparando valores (garantindo mínimo global no intervalo):
Como
é menor que os valores nos extremos do intervalo e é mínimo local, ele é o mínimo global no intervalo
. Portanto a densidade, inversamente proporcional a
, é máxima em
.
Passo 7
Conclusão final: a água tem sua densidade máxima, segundo o polinômio dado, aproximadamente à temperatura
. Boa notícia: isso bate com a conhecida propriedade física de que a água tem densidade máxima perto de
— então o modelo faz sentido.