Between 0^{\circ} \mathrm{C} and 30^{\circ} \mathrm{C}, the volume V (in cubic centimeters) of 1 kg of water at a temperature T is given approximately by the formula
V=999.87-0.06426 T+0.0085043 T^{2}-0.0000679 T^{3}
Find the temperature at which water has its maximum density.

Passo 1

O enunciado dá a variação aproximada do volume de 1 kg de água, em centímetros cúbicos, entre 0^\circ\mathrm{C} e 30^\circ\mathrm{C}:
V = 999,87 - 0,06426\,T + 0,0085043\,T^{2} - 0,0000679\,T^{3},
onde T é a temperatura em graus Celsius. A pergunta é: “Em que temperatura a água tem sua maior densidade?”
Informações relevantes listadas:
  • A função V(T) está definida no intervalo [0^\circ\mathrm{C},\,30^\circ\mathrm{C}].
  • Temos massa igual a 1 kg, logo a densidade \rho é \rho = \dfrac{\text{massa}}{V} = \dfrac{1}{V} (unidades apropriadas).
    O que precisamos encontrar: o valor de T no intervalo dado que torna a densidade máxima.

Passo 2

Observação chave (motivação didática): para 1 kg de água a densidade \rho é inversamente proporcional ao volume V. Portanto maximizar \rho é equivalente a minimizar V. Ou seja, procuramos o ponto de temperatura T no intervalo [0,30] onde V(T) atinge seu mínimo.
Método prático: procuramos pontos críticos de V (onde V'(T)=0 ou V' não existe) e verificamos qual deles dá mínimo (usando teste da segunda derivada ou comparando valores).

Passo 3

Calcule a derivada primeira V'(T). Lembre que a derivada de aT^n é n a T^{n-1}. Aplicando termo a termo:
V'(T) = -0,06426 + 2\cdot0,0085043\,T - 3\cdot0,0000679\,T^{2}.
Simplificando os coeficientes:
V'(T) = -0,06426 + 0,0170086\,T - 0,0002037\,T^{2}.
Explicação rápida: V'(T) é a taxa de variação do volume com a temperatura; zeros de V' são candidatos a mínimos ou máximos locais.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo V'(T)=0. Colocando em forma padrão (multiplicando por -1 para a>0):
0,0002037\,T^{2} - 0,0170086\,T + 0,06426 = 0.
Isto é uma equação quadrática aT^2 + bT + c = 0 com
a = 0,0002037,\quad b = -0,0170086,\quad c = 0,06426.
Use a fórmula de Bhaskara: T = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Primeiro calcule o discriminante:
b^{2} = (-0,0170086)^{2} = 0,000289292474,
4ac = 4\cdot0,0002037\cdot0,06426 = 0,000052359048,
\Delta = b^{2}-4ac = 0,000289292474 - 0,000052359048 = 0,000236933426.
A raiz do discriminante é aproximadamente
\sqrt{\Delta} \approx 0,0153915.

Passo 5

Aplicando a fórmula das raízes:
T = \frac{0,0170086 \pm 0,0153915}{2\cdot0,0002037} = \frac{0,0170086 \pm 0,0153915}{0,0004074}.
Calcule as duas soluções:
T_{1} \approx \frac{0,0170086 + 0,0153915}{0,0004074} \approx \frac{0,0324001}{0,0004074} \approx 79,56,
T_{2} \approx \frac{0,0170086 - 0,0153915}{0,0004074} \approx \frac{0,0016171}{0,0004074} \approx 3,97.
Interpretação: T_{1}\approx 79,56^\circ\mathrm{C} está fora do intervalo [0,30], então não nos interessa; T_{2}\approx 3,97^\circ\mathrm{C} está no intervalo e é candidato.

Passo 6

Verificação de que T_{2} dá mínimo de V (logo máximo de densidade).
  1. Teste da segunda derivada: calcule
V''(T) = \frac{d}{dT}V'(T) = 2\cdot0,0085043 - 6\cdot0,0000679\,T = 0,0170086 - 0,0004074\,T.
Avalie em T\approx 3,97:
V''(3,97) \approx 0,0170086 - 0,0004074\cdot3,97 \approx 0,0170086 - 0,001616 \approx 0,015393>0.
Como V''(3,97)>0, V tem um mínimo local em T\approx 3,97^\circ\mathrm{C}.
  1. Confirmação comparando valores (garantindo mínimo global no intervalo):
V(0) = 999,87,
V(30)\approx 1003,763\quad\text{(cálculo direto substituindo na fórmula dada)},áó
V(3,97)\approx 999,745\quad\text{(substituição direta, menor que \(V(0)\) e \(V(30)\)).}çã
Como V(3,97) é menor que os valores nos extremos do intervalo e é mínimo local, ele é o mínimo global no intervalo [0,30]. Portanto a densidade, inversamente proporcional a V, é máxima em T\approx 3,97^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Conclusão final: a água tem sua densidade máxima, segundo o polinômio dado, aproximadamente à temperatura T\approx 3,97^\circ\mathrm{C}. Boa notícia: isso bate com a conhecida propriedade física de que a água tem densidade máxima perto de 4^\circ\mathrm{C} — então o modelo faz sentido.

Resposta

3,97^\circ\mathrm{C}