O bloco de granito sofre a ação de uma carga de compressão P. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima sobre o bloco é 50 MPa , determine:
a) Magnitude da força
;
b) A tensão normal na secção da máxima tensão de cisalhamento
c) Máxima tensão normal que atua no bloco.
a) Magnitude da força
b) A tensão normal na secção da máxima tensão de cisalhamento
c) Máxima tensão normal que atua no bloco.
Passo 1
O enunciado pede três coisas relacionadas a um bloco de granito sob uma carga de compressão
:\n
(a) a magnitude da força ;\n
(b) a tensão normal na secção onde ocorre a máxima tensão de cisalhamento;\n
(c) a máxima tensão normal que atua no bloco.\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
(a) a magnitude da força
(b) a tensão normal na secção onde ocorre a máxima tensão de cisalhamento;\n
(c) a máxima tensão normal que atua no bloco.\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
- A máxima tensão de cisalhamento no bloco é
\n
Informações que o enunciado NÃO deu (e que são relevantes se quisermos um valor numérico para):\n - a área da secção transversal do bloco (ou sua geometria que permita calcular essa área).\n
Observação importante: o enunciado não traz figura nem área. Se quisermos um valor numérico paraprecisamos da área da secção transversal . Vou prosseguir assumindo o caso físico mais direto: carga axial de compressão aplicada uniformemente na secção transversal (ou seja, tensão uniaxial no sentido da carga). Se o enunciado tivesse outra geometria ou combinação de carregamentos, seria necessária essa informação.
Passo 2
Conceito físico e escolha do método (explicação didática, sem jargões complicados).\n
Quando um corpo está submetido a uma tensão uniaxial (aplicamos uma força axial sobre uma área
, gerando a tensão média normal
), os estresses principais ficam assim:\n
Quando um corpo está submetido a uma tensão uniaxial (aplicamos uma força axial
- uma tensão principal no eixo da carga:
(sinal negativo porque é compressão);\n - nas direções laterais, estando as faces livres, as tensões são nulas:
e .\n
A máxima tensão de cisalhamento num estado tridimensional de tensões é dada por metade da diferença entre o maior e o menor dos esforços normais principais. No caso uniaxial simples:\n
Tomando o módulo (tensão de cisalhamento máxima em valor absoluto), temos\n
Portanto, para um bloco sob compressão uniaxial, a relação simples e útil é\n
Isso vem diretamente da ideia de que, sob tensão uniaxial, o plano de maior cisalhamento está a
em relação ao eixo de carregamento e a tensão de cisalhamento máxima vale metade da tensão axial.
Passo 3
Usando a relação descoberta:
.\n
Como foi dado , obtemos\n
Como foi dado
Interpretação: a tensão normal axial (média) no bloco é
de compressão. Em notação com sinal,
(o sinal negativo indica compressão).
Passo 4
Determinar a força
.\n
A definição de tensão normal média é , onde:\n
A definição de tensão normal média é
-
é a força axial (unidade: N);\n -
é a área da secção transversal sobre a qual atua (unidade: m ou mm );\n -
tem unidades de pressão (Pa, MPa, etc.).\n
Isolandoobtemos\n
Substituindo
obtemos a relação geral\n
Observação prática: sem o valor numérico de
não dá para calcular um número para
. Se você me passar a área, eu calculo
. Exemplo ilustrativo (apenas para ver como funciona): se
(isto é,
), então\n
Mas isto é só um exemplo — o valor real precisa de
.
Passo 5
Tensão normal na secção da máxima tensão de cisalhamento.\n
Explicação física e fórmula: o plano onde a cisalhamento é máximo (no caso uniaxial) está inclinado em relação ao eixo de carregamento. A tensão normal nesse plano é a média dos dois esforços principais envolvidos. No nosso caso, tomando os dois maiores/menores principais relevantes, a tensão normal naquele plano vale\n
Explicação física e fórmula: o plano onde a cisalhamento é máximo (no caso uniaxial) está inclinado
Aqui
e
. Assim\n
Substituindo
(valor positivo para módulo), obtemos\n
Interpretação: a tensão normal no plano de máxima cisalhamento é compressiva de
.
Passo 6
Máxima tensão normal que atua no bloco (interpretação via tensões principais).\n
Os valores das tensões principais no caso uniaxial são:\n
Os valores das tensões principais no caso uniaxial são:\n
Dependendo de como você interpreta “máxima tensão normal”:\n
- se quisermos a maior tensão normal no sentido algébrico (mais positiva), é
(não há tração, apenas compressão e superfícies livres trazem zero);\n - se quisermos a máxima tensão normal em valor absoluto (ou a maior tensão compressiva em módulo), é
de compressão, isto é, .\n
Na engenharia normalmente quando se pergunta pela “máxima tensão normal que atua no bloco” em um problema de compressão uniaxial, espera-se citar a maior das tensões principais em módulo:(compressão).
Resposta
(a)
(é necessário o valor da área
da secção transversal para obter
numericamente).\n
(b) (tensão normal na secção do máximo cisalhamento, sinal negativo = compressão).\n
(c) (máxima tensão normal em módulo
, compressiva).
(b)
(c)