O bloco de granito sofre a ação de uma carga de compressão P. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima sobre o bloco é 50 MPa , determine:
a) Magnitude da força P;
b) A tensão normal na secção da máxima tensão de cisalhamento
c) Máxima tensão normal que atua no bloco.

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas a um bloco de granito sob uma carga de compressão P:\n
(a) a magnitude da força \,P;\n
(b) a tensão normal na secção onde ocorre a máxima tensão de cisalhamento;\n
(c) a máxima tensão normal que atua no bloco.\n
Informações fornecidas pelo enunciado:\n
  • A máxima tensão de cisalhamento no bloco é \,50\\ \text{MPa}.\n
    Informações que o enunciado NÃO deu (e que são relevantes se quisermos um valor numérico para P):\n
  • a área da secção transversal do bloco (ou sua geometria que permita calcular essa área).\n
    Observação importante: o enunciado não traz figura nem área. Se quisermos um valor numérico para P precisamos da área da secção transversal A. Vou prosseguir assumindo o caso físico mais direto: carga axial de compressão aplicada uniformemente na secção transversal (ou seja, tensão uniaxial \sigma no sentido da carga). Se o enunciado tivesse outra geometria ou combinação de carregamentos, seria necessária essa informação.

Passo 2

Conceito físico e escolha do método (explicação didática, sem jargões complicados).\n
Quando um corpo está submetido a uma tensão uniaxial (aplicamos uma força axial \,P sobre uma área A, gerando a tensão média normal \sigma = P/A), os estresses principais ficam assim:\n
  • uma tensão principal no eixo da carga: \sigma_1 = -\sigma (sinal negativo porque é compressão);\n
  • nas direções laterais, estando as faces livres, as tensões são nulas: \sigma_2 = 0 e \sigma_3 = 0.\n
    A máxima tensão de cisalhamento num estado tridimensional de tensões é dada por metade da diferença entre o maior e o menor dos esforços normais principais. No caso uniaxial simples:\n
\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = \frac{(-\sigma) - 0}{2} = -\frac{\sigma}{2}.
Tomando o módulo (tensão de cisalhamento máxima em valor absoluto), temos\n
|\tau_{\max}| = \frac{\sigma}{2}.
Portanto, para um bloco sob compressão uniaxial, a relação simples e útil é\n
\sigma = 2\,\tau_{\max}.
Isso vem diretamente da ideia de que, sob tensão uniaxial, o plano de maior cisalhamento está a 45^\circ em relação ao eixo de carregamento e a tensão de cisalhamento máxima vale metade da tensão axial.

Passo 3

Usando a relação descoberta: \sigma = 2\,\tau_{\max}.\n
Como foi dado \tau_{\max}=50\\ \text{MPa}, obtemos\n
\sigma = 2\cdot 50\\ \text{MPa} = 100\\ \text{MPa}.
Interpretação: a tensão normal axial (média) no bloco é \,100\\ \text{MPa} de compressão. Em notação com sinal, \sigma = -100\\ \text{MPa} (o sinal negativo indica compressão).

Passo 4

Determinar a força P.\n
A definição de tensão normal média é \sigma = \dfrac{P}{A}, onde:\n
  • \,P é a força axial (unidade: N);\n
  • \,A é a área da secção transversal sobre a qual P atua (unidade: m ^2 ou mm ^2);\n
  • \,\sigma tem unidades de pressão (Pa, MPa, etc.).\n
    Isolando P obtemos\n
P = \sigma\,A.
Substituindo \sigma = 100\\ \text{MPa} obtemos a relação geral\n
P = 100\\ \text{MPa}\cdot A.
Observação prática: sem o valor numérico de A não dá para calcular um número para P. Se você me passar a área, eu calculo P. Exemplo ilustrativo (apenas para ver como funciona): se A=10^{-3}\\ \text{m}^2 (isto é, 1000\\ \text{mm}^2), então\n
P = 100\\ \text{MPa}\cdot 10^{-3}\\ \text{m}^2 = 100\cdot 10^{6}\\ \text{Pa}\cdot 10^{-3}\\ \text{m}^2 = 10^{5}\\ \text{N} = 100\\ \text{kN}.
Mas isto é só um exemplo — o valor real precisa de A.

Passo 5

Tensão normal na secção da máxima tensão de cisalhamento.\n
Explicação física e fórmula: o plano onde a cisalhamento é máximo (no caso uniaxial) está inclinado 45^\circ em relação ao eixo de carregamento. A tensão normal nesse plano é a média dos dois esforços principais envolvidos. No nosso caso, tomando os dois maiores/menores principais relevantes, a tensão normal naquele plano vale\n
\sigma_n = \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}.
Aqui \sigma_1 = -\sigma e \sigma_3 = 0. Assim\n
\sigma_n = \frac{-\sigma + 0}{2} = -\frac{\sigma}{2}.
Substituindo \sigma = 100\\ \text{MPa} (valor positivo para módulo), obtemos\n
\sigma_n = -50\\ \text{MPa}.
Interpretação: a tensão normal no plano de máxima cisalhamento é compressiva de 50\\ \text{MPa}.

Passo 6

Máxima tensão normal que atua no bloco (interpretação via tensões principais).\n
Os valores das tensões principais no caso uniaxial são:\n
\sigma_1 = -\sigma = -100\\ \text{MPa},\qquad \sigma_2 = 0,\qquad \sigma_3 = 0.
Dependendo de como você interpreta “máxima tensão normal”:\n
  • se quisermos a maior tensão normal no sentido algébrico (mais positiva), é \,0\\ \text{MPa} (não há tração, apenas compressão e superfícies livres trazem zero);\n
  • se quisermos a máxima tensão normal em valor absoluto (ou a maior tensão compressiva em módulo), é \,100\\ \text{MPa} de compressão, isto é, \sigma_1 = -100\\ \text{MPa}.\n
    Na engenharia normalmente quando se pergunta pela “máxima tensão normal que atua no bloco” em um problema de compressão uniaxial, espera-se citar a maior das tensões principais em módulo: \,100\\ \text{MPa} (compressão).

Resposta

(a) \;P = 100\\ \text{MPa}\cdot A (é necessário o valor da área A da secção transversal para obter P numericamente).\n
(b) \;\sigma_n = -50\\ \text{MPa} (tensão normal na secção do máximo cisalhamento, sinal negativo = compressão).\n
(c) \;\sigma_{\,\text{máx (principal)}} = -100\\ \text{MPa}á (máxima tensão normal em módulo =100\\ \text{MPa}, compressiva).

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