A haste AC de alumínio 2014-T6 ( \mathrm{E}=73.1 \mathrm{GPa} ) é reforçado com o tubo BC de aço A992 (E = 200 GPa ) firmemente conectado. Quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, o espaço entre a extremidade C e o apoio rígido inferior é de 0.5 mm . Determine as reações de apoio quando for aplicada a força axial de 400 kN .
Resposta:
\begin{aligned} & V_{D}=219 \mathrm{kN} \\\ & V_{C}=181 \mathrm{kN} \end{aligned}
V - são as reações verticais

Passo 1

O enunciado forneceu as seguintes informações e pediu o que eu devo encontrar:
  • Dado: a haste AC é de alumínio 2014-T6 com módulo de elasticidade \displaystyle E_{Al}=73{,}1\\ \mathrm{GPa}.
  • Dado: o tubo BC é de aço A992 com módulo de elasticidade \displaystyle E_{Steel}=200\\ \mathrm{GPa}.
  • Dado: quando nenhuma carga é aplicada, existe um espaçamento (folga) entre a extremidade C e um apoio rígido inferior igual a \displaystyle 0{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Dado: é aplicada uma força axial (vertical) \displaystyle P=400\\ \mathrm{kN}.
  • Pedido: determinar as reações verticais nos apoios, V_{D} e V_{C} (as duas reações verticais devem somar \displaystyle 400\\ \mathrm{kN}).
Informações importantes que o enunciado NÃO forneceu (e que são necessárias para obter valores numéricos únicos):
  • as áreas transversais (ou diâmetros) das peças AC e BC, isto é, \displaystyle A_{Al} e \displaystyle A_{Steel};
  • os comprimentos efetivos em que cada peça participa na deformação axial (por exemplo, \displaystyle L_{AC} e \displaystyle L_{BC});
  • qualquer detalhe geométrico adicional (por exemplo, se os comprimentos são iguais, se há encaixes que mudam as comprimentos efetivos, etc.);
  • uma figura que mostre a disposição exata dos apoios e dos membros (caso isso altere a compatibilidade de deformações).
Observação: sem essas informações geométricas (áreas e comprimentos) não é possível calcular numericamente, de forma única e correta, as reações V_{D} e V_{C}. A resolução numérica exige os valores de \displaystyle A e \displaystyle L (ou alguma relação entre eles). A seguir eu explico passo a passo o método completo que se usa para esse tipo de problema, para que você possa aplicar assim que tiver (ou confirmar) as dimensões.

Passo 2

Entender o fenômeno e a estratégia de solução (visão geral, sem números ainda):
  • Quando não há carga, existe uma folga de 0{,}5\\ \mathrm{mm} entre C e o apoio rígido: isso significa que inicialmente a peça que liga a carga ao apoio inferior (provavelmente a haste de alumínio) pode deformar até fechar essa folga sem que o apoio inferior receba carga. Enquanto a folga existir, apenas o elemento que está sendo comprimido até fechar a folga transmite força ao restante do conjunto.
  • Ao aplicar a força axial P progressivamente, ocorrem duas fases:
    1. Fase 1 — folga aberta: somente o(s) elemento(s) que estão diretamente ligados ao ponto de aplicação deformam e sustentam a carga; o apoio inferior ainda não reage porque a folga não fechou.
    2. Fase 2 — folga fechada: quando a deformação acumulada do conjunto for suficiente para fechar a folga de 0{,}5\\ \mathrm{mm}, a geometria fica compatível com contato no apoio inferior e, a partir daí, o sistema passa a dividir a carga entre os apoios, segundo as rigidezes relativas dos caminhos de carga (ou seja, as reações são proporcionais às rigidezes axiais dos elementos).
  • Portanto, a solução requer:
    a) calcular a carga necessária para fechar a folga (se essa carga for menor ou igual a 400\\ \mathrm{kN}, então ao final a folga estará fechada e a carga será repartida entre os dois apoios; se for maior, então o apoio inferior nunca entra em contato e toda a carga de 400\\ \mathrm{kN} fica suportada apenas pelo caminho que estava inicialmente carregado);
    b) se a folga fecha antes de P=400\\ \mathrm{kN}, então calcular as reações usando a repartição de carga pela rigidez axial de cada elemento.

Passo 3

Fórmulas básicas e o que cada símbolo significa (aulas rápidas necessárias):
  • Rigidez axial de uma barra (membro) em tração/compressão: \displaystyle K = \frac{EA}{L},onde:
    • \displaystyle E é o módulo de elasticidade do material (unidades: \mathrm{Pa} ou \mathrm{GPa});
    • \displaystyle A é a área da seção transversal da barra (unidades: \mathrm{m^{2}});
    • \displaystyle L é o comprimento efetivo da barra que sofre deformação axial (unidades: \mathrm{m});
    • \displaystyle K tem unidade de \mathrm{N/m} e representa a “rigidez” axial (força por deslocamento).
  • Deformação axial linear (alongamento ou compressão) de uma barra sob carga F: \displaystyle \delta = \frac{F L}{E A} = \frac{F}{K}.Aqui \delta é o deslocamento axial (m).
  • Quando duas barras estão em paralelo (duas rotas para a força axial entre os mesmos dois nós) e ambas estão sob carga a partir do contato (folga fechada), a carga total P se divide conforme as rigidezes: \displaystyle V_{i} = P\cdot\frac{K_{i}}{K_{total}} \quad\text{com}\quad K_{total}=\sum K_{i}.Isso vem de que ambas as barras têm o mesmo deslocamento axial (compatibilidade) e a soma das forças internas deve igualar a força externa (equilíbrio estático).

Passo 4

Aplicação ao problema — fase 1: carga necessária para fechar a folga
  • Identifique qual elemento está comprimindo inicialmente e encurta até fechar a folga de \Delta_{gap}=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}. Geralmente será a haste AC (alumínio) se esta é a peça diretamente entre a aplicação da carga e a folga em C.
  • Se durante a fase 1 apenas a haste AC deformar, a carga P_{fech} necessária para produzir \delta_{AC}=\Delta_{gap} é: \displaystyle P_{fech} = K_{AC}\, \Delta_{gap} = \frac{E_{Al} A_{Al}}{L_{AC}} \Delta_{gap}.
  • Observação: para calcular numericamente P_{fech} precisamos de \displaystyle A_{Al} e \displaystyle L_{AC}. Sem esses valores não dá para avaliar se \displaystyle P_{fech} < 400\\ \mathrm{kN} ou \displaystyle P_{fech} \ge 400\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Aplicação ao problema — fase 2: folga fechada (compatibilidade e equilíbrio)
  • Se P_{fech}\le 400\\ \mathrm{kN}, então ao chegar em P=400\\ \mathrm{kN} o contato já estará feito e a carga será compartilhada entre o caminho que vai para o apoio D e o caminho que vai para o apoio C. Assim, as reações são: \displaystyle V_{D} = P\cdot\frac{K_{D}}{K_{D}+K_{C}},\qquad V_{C} = P\cdot\frac{K_{C}}{K_{D}+K_{C}}.
  • Aqui \displaystyle K_{D} e \displaystyle K_{C} são as rigidezes axiais equivalentes dos caminhos que levam carga até os apoios D e C. Cada K é obtido pela soma de rigidezes de subelementos em série/paralelo conforme a montagem geométrica (normalmente, se cada caminho for formado por uma única peça axial, então K=\dfrac{EA}{L} dessa peça).
  • Novamente, para valores numéricos se precisa conhecer \displaystyle E, \displaystyle A e \displaystyle L de cada caminho. Nós temos \displaystyle E para os materiais, mas faltam \displaystyle A e \displaystyle L.

Passo 6

Como proceder na prática (passo-a-passo que você faria na prova, com todos os detalhes):
  1. Identificar qual peça deforma antes do contato (normalmente AC) e escrever K_{AC}=\dfrac{E_{Al}A_{Al}}{L_{AC}}.
  2. Calcular a carga necessária para fechar a folga: \displaystyle P_{fech} = K_{AC}\,\Delta_{gap}.
    • Se P_{fech}>400\\ \mathrm{kN}, então a folga não fecha com a carga aplicada e toda a carga 400\\ \mathrm{kN} é absorvida pela haste AC (ou pelo caminho inicial): V_{D}=400\\ \mathrm{kN} e V_{C}=0.
    • Se P_{fech}\le 400\\ \mathrm{kN}, a folga fecha em alguma carga menor e para a carga final P=400\\ \mathrm{kN} o apoio inferior participa.
  3. Quando a folga fecha (caso 2), modelar os caminhos até os apoios e calcular as rigidezes equivalentes: K_{i}=\frac{E_{i}A_{i}}{L_{i}}\quad\text{(ou combinação série/paralelo conforme necessário)}.çãéá
  4. Repartir a carga pela relação: \displaystyle V_{i} = P\cdot\frac{K_{i}}{\sum K_{i}}.
  5. Verificar compatibilidade (deslocamentos) e equilíbrio (somatório das reações = P). Se existirem múltiplos elementos em série em um caminho, calcule a rigidez equivalente em série por \displaystyle \frac{1}{K_{eq}}=\sum \frac{1}{K_{j}}.
  6. Sempre checar a unidade dos dados (transformar \mathrm{GPa} em \mathrm{Pa} e \mathrm{mm} em \mathrm{m} quando calcular).

Passo 7

Exemplo ilustrativo (com símbolos) de cálculo numérico caso você tenha os dados:
  • Suponha que você me dê \displaystyle A_{Al}, \displaystyle L_{AC}, \displaystyle A_{Steel}, \displaystyle L_{BC}. Então:
    1. Calcule \displaystyle K_{AC}=\dfrac{E_{Al}A_{Al}}{L_{AC}}.
    2. Calcule \displaystyle P_{fech}=K_{AC}\Delta_{gap}.
    3. Se P_{fech}\le 400\\ \mathrm{kN}, calcule também \displaystyle K_{BC}=\dfrac{E_{Steel}A_{Steel}}{L_{BC}}.
    4. Então as reações serão \displaystyle V_{D}=400\\ \mathrm{kN}\cdot\frac{K_{D}}{K_{D}+K_{C}},\qquad V_{C}=400\\ \mathrm{kN}\cdot\frac{K_{C}}{K_{D}+K_{C}},com K_{D} e K_{C} substituídos pelos valores adequados (dependendo de qual peça corresponde a cada apoio).
  • Esse procedimento dá a resposta correta e verifica as duas fases.

Passo 8

Conclusão e observação final sobre os números dados na resposta:
  • A resposta numérica que você mostrou no enunciado é \displaystyle V_{D}=219\\ \mathrm{kN},\qquad V_{C}=181\\ \mathrm{kN},que de fato soma 400\\ \mathrm{kN} e corresponde à divisão de carga por alguma razão de rigidezes particular (isto é, \dfrac{K_{D}}{K_{C}}=\dfrac{219}{181}\approx 1{,}2099).
  • Para obter exatamente esses valores a partir dos dados materiais \left(E_{Al},E_{Steel}\right) é necessário conhecer as áreas e comprimentos para montar \dfrac{K_{D}}{K_{C}}=\dfrac{E_{D}A_{D}/L_{D}}{E_{C}A_{C}/L_{C}}. Sem essas informações geométricas não há base para chegar unicamente aos números 219\\ \mathrm{kN} e 181\\ \mathrm{kN}.
  • Se você quiser, me envie as áreas e comprimentos (ou a figura completa com medidas) que eu aplico agora o procedimento acima com números e te mostro todas as contas detalhadas, passo a passo, até chegar em V_{D} e V_{C}.

Resposta

Não é possível determinar numericamente V_{D} e V_{C} apenas com os dados fornecidos ( E dos materiais, folga e carga). Faltam as áreas transversais e os comprimentos das peças (ou a figura completa com medidas).

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