A haste AC de alumínio 2014-T6 (
) é reforçado com o tubo BC de aço A992 (E = 200 GPa ) firmemente conectado. Quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, o espaço entre a extremidade C e o apoio rígido inferior é de 0.5 mm . Determine as reações de apoio quando for aplicada a força axial de 400 kN .
Resposta:
- são as reações verticais
Passo 1
O enunciado forneceu as seguintes informações e pediu o que eu devo encontrar:
- Dado: a haste
é de alumínio 2014-T6 com módulo de elasticidade . - Dado: o tubo
é de aço A992 com módulo de elasticidade . - Dado: quando nenhuma carga é aplicada, existe um espaçamento (folga) entre a extremidade
e um apoio rígido inferior igual a . - Dado: é aplicada uma força axial (vertical)
. - Pedido: determinar as reações verticais nos apoios,
e (as duas reações verticais devem somar ).
Informações importantes que o enunciado NÃO forneceu (e que são necessárias para obter valores numéricos únicos):
- as áreas transversais (ou diâmetros) das peças
e , isto é, e ; - os comprimentos efetivos em que cada peça participa na deformação axial (por exemplo,
e ); - qualquer detalhe geométrico adicional (por exemplo, se os comprimentos são iguais, se há encaixes que mudam as comprimentos efetivos, etc.);
- uma figura que mostre a disposição exata dos apoios e dos membros (caso isso altere a compatibilidade de deformações).
Observação: sem essas informações geométricas (áreas e comprimentos) não é possível calcular numericamente, de forma única e correta, as reações
e
. A resolução numérica exige os valores de
e
(ou alguma relação entre eles). A seguir eu explico passo a passo o método completo que se usa para esse tipo de problema, para que você possa aplicar assim que tiver (ou confirmar) as dimensões.
Passo 2
Entender o fenômeno e a estratégia de solução (visão geral, sem números ainda):
- Quando não há carga, existe uma folga de
entre e o apoio rígido: isso significa que inicialmente a peça que liga a carga ao apoio inferior (provavelmente a haste de alumínio) pode deformar até fechar essa folga sem que o apoio inferior receba carga. Enquanto a folga existir, apenas o elemento que está sendo comprimido até fechar a folga transmite força ao restante do conjunto. - Ao aplicar a força axial
progressivamente, ocorrem duas fases: - Fase 1 — folga aberta: somente o(s) elemento(s) que estão diretamente ligados ao ponto de aplicação deformam e sustentam a carga; o apoio inferior ainda não reage porque a folga não fechou.
- Fase 2 — folga fechada: quando a deformação acumulada do conjunto for suficiente para fechar a folga de
, a geometria fica compatível com contato no apoio inferior e, a partir daí, o sistema passa a dividir a carga entre os apoios, segundo as rigidezes relativas dos caminhos de carga (ou seja, as reações são proporcionais às rigidezes axiais dos elementos).
- Portanto, a solução requer:
a) calcular a carga necessária para fechar a folga (se essa carga for menor ou igual a, então ao final a folga estará fechada e a carga será repartida entre os dois apoios; se for maior, então o apoio inferior nunca entra em contato e toda a carga de fica suportada apenas pelo caminho que estava inicialmente carregado);
b) se a folga fecha antes de, então calcular as reações usando a repartição de carga pela rigidez axial de cada elemento.
Passo 3
Fórmulas básicas e o que cada símbolo significa (aulas rápidas necessárias):
- Rigidez axial de uma barra (membro) em tração/compressão:
onde: -
é o módulo de elasticidade do material (unidades: ou ); -
é a área da seção transversal da barra (unidades: ); -
é o comprimento efetivo da barra que sofre deformação axial (unidades: ); -
tem unidade de e representa a “rigidez” axial (força por deslocamento).
-
- Deformação axial linear (alongamento ou compressão) de uma barra sob carga
: Aqui é o deslocamento axial (m). - Quando duas barras estão em paralelo (duas rotas para a força axial entre os mesmos dois nós) e ambas estão sob carga a partir do contato (folga fechada), a carga total
se divide conforme as rigidezes: Isso vem de que ambas as barras têm o mesmo deslocamento axial (compatibilidade) e a soma das forças internas deve igualar a força externa (equilíbrio estático).
Passo 4
Aplicação ao problema — fase 1: carga necessária para fechar a folga
- Identifique qual elemento está comprimindo inicialmente e encurta até fechar a folga de
. Geralmente será a haste (alumínio) se esta é a peça diretamente entre a aplicação da carga e a folga em . - Se durante a fase 1 apenas a haste
deformar, a carga necessária para produzir é: - Observação: para calcular numericamente
precisamos de e . Sem esses valores não dá para avaliar se ou .
Passo 5
Aplicação ao problema — fase 2: folga fechada (compatibilidade e equilíbrio)
- Se
, então ao chegar em o contato já estará feito e a carga será compartilhada entre o caminho que vai para o apoio e o caminho que vai para o apoio . Assim, as reações são: - Aqui
e são as rigidezes axiais equivalentes dos caminhos que levam carga até os apoios e . Cada é obtido pela soma de rigidezes de subelementos em série/paralelo conforme a montagem geométrica (normalmente, se cada caminho for formado por uma única peça axial, então dessa peça). - Novamente, para valores numéricos se precisa conhecer
, e de cada caminho. Nós temos para os materiais, mas faltam e .
Passo 6
Como proceder na prática (passo-a-passo que você faria na prova, com todos os detalhes):
- Identificar qual peça deforma antes do contato (normalmente
) e escrever . - Calcular a carga necessária para fechar a folga:
- Se
, então a folga não fecha com a carga aplicada e toda a carga é absorvida pela haste (ou pelo caminho inicial): e . - Se
, a folga fecha em alguma carga menor e para a carga final o apoio inferior participa.
- Se
- Quando a folga fecha (caso 2), modelar os caminhos até os apoios e calcular as rigidezes equivalentes:
- Repartir a carga pela relação:
- Verificar compatibilidade (deslocamentos) e equilíbrio (somatório das reações =
). Se existirem múltiplos elementos em série em um caminho, calcule a rigidez equivalente em série por - Sempre checar a unidade dos dados (transformar
em e em quando calcular).
Passo 7
Exemplo ilustrativo (com símbolos) de cálculo numérico caso você tenha os dados:
- Suponha que você me dê
, , , . Então: - Calcule
. - Calcule
. - Se
, calcule também . - Então as reações serão
com e substituídos pelos valores adequados (dependendo de qual peça corresponde a cada apoio).
- Calcule
- Esse procedimento dá a resposta correta e verifica as duas fases.
Passo 8
Conclusão e observação final sobre os números dados na resposta:
- A resposta numérica que você mostrou no enunciado é
que de fato soma e corresponde à divisão de carga por alguma razão de rigidezes particular (isto é, ). - Para obter exatamente esses valores a partir dos dados materiais
é necessário conhecer as áreas e comprimentos para montar . Sem essas informações geométricas não há base para chegar unicamente aos números e . - Se você quiser, me envie as áreas e comprimentos (ou a figura completa com medidas) que eu aplico agora o procedimento acima com números e te mostro todas as contas detalhadas, passo a passo, até chegar em
e .
Resposta
Não é possível determinar numericamente
e
apenas com os dados fornecidos (
dos materiais, folga e carga). Faltam as áreas transversais e os comprimentos das peças (ou a figura completa com medidas).