em que g=9,8 m / s^2 é a aceleração da gravidade e mu(v) é o coeficiente de atrito. O coeficiente de atrito geralmente não é independente da velocidade. Para o atrito seco, o coeficiente de atrito pode, para baixas velocidades, ser aproximado pela seguinte fórmula:
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco de massa $ m = 0,25 , kg $ ligado a uma mola com constante elástica $ k = 100 , N/m $. Esse bloco está se movendo sobre uma superfície horizontal, e vamos usar a posição do bloco $ x(t) $ para medir o alongamento da mola. Na Parte I, não tem atrito, e o bloco é solto da posição $ x = 0,5 , m $ sem velocidade inicial. O conteúdo aqui envolve movimento harmônico simples e vamos precisar usar as equações desse tipo de movimento para resolver as partes (a) e (b). Vamos por partes!
Passo 2
Parte I(a): Encontre uma expressão analítica para a posição, $ x(t) $, do bloco.
Primeiro, sabemos que quando um bloco está preso a uma mola e não há atrito, ele realiza um movimento harmônico simples (MHS). A equação geral para a posição em MHS é:
x(t)
Onde:
$ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular.
Vamos calcular $ \omega $:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Como o bloco é solto da posição $ x = 0,5 , m $ sem velocidade inicial, as condições iniciais são:
$ x(0) = 0,5 , m $
$ v(0) = 0 , m/s $
Aplicando essas condições na equação geral:
Para $ t = 0 $:
A
Para a velocidade, derivamos $ x(t) $:
B
Aplicando $ v(0) = 0 $:
omega = raizkm
Então, a expressão para $ x(t) $ fica:
omega
Passo 3
Parte I(b): De que forma a massa do objeto influencia a expressão encontrada em (a)?
Na expressão que encontramos para $ x(t) $:
x(t)
Observamos que a frequência angular $ \omega = 20 , rad/s $ depende da massa através da fórmula:
x(t) = 0,5 cos(20 t)
Isso mostra que a massa $ m $ está no denominador da raiz quadrada. Então, se a massa aumenta, $ \omega $ diminui, o que significa que o movimento fica mais lento (menor frequência). Por outro lado, se a massa diminui, a frequência aumenta, e o movimento fica mais rápido.
Portanto, a massa do bloco afeta diretamente a frequência do movimento: quanto maior a massa, menor a frequência angular e vice-versa.
Aqui, vamos usar o método de Euler-Cromer para resolver numericamente o movimento do bloco. Esse método é uma variação do método de Euler que é mais adequado para sistemas conservativos, como esse com movimento harmônico simples.
Passos do Método de Euler-Cromer:
Inicializar as variáveis:
Posição inicial: $ x_0 = 0,5 , m $
Velocidade inicial: $ v_0 = 0 , m/s $
Tempo inicial: $ t_0 = 0 , s $
Passo de tempo: $ \Delta t = 0,01 , s $
Calcular a aceleração inicial:
x(t)
Iterar para cada passo de tempo:
Atualizar a velocidade: t0 = 0 , s
Atualizar a posição: tf = 15 , s
Calcular a nova aceleração: De
Repetir até $ t = 15 , s $
Plotar os resultados:
Traçar $ x(t) $ obtido pelo método numérico.
Comparar com a expressão analítica $ x(t) = 0,5 \cos(20 t) $.
Observação:
Para implementar isso, você pode usar uma linguagem de programação como Python, MATLAB ou qualquer outra de sua preferência. O gráfico deverá mostrar que a solução numérica se aproxima muito da solução analítica para pequenos passos de tempo como $ \Delta t = 0,01 , s $.
Resposta
A expressão analítica para a posição do bloco é $ x(t) = 0,5 \cos(20 t) , m $. A massa do bloco influencia inversamente a frequência angular do movimento, ou seja, quanto maior a massa, menor a frequência do movimento harmônico simples. Além disso, ao aplicar o método de Euler-Cromer com $ \Delta t = 0,01 , s $, obtivemos uma solução numérica para $ x(t) $ que coincide com a solução analítica, confirmando a precisão do método para este sistema sem atrito.