Uma bolha de \mathrm{CO}_{2} se forma no fundo de um lago e sobe até a superfície. Relembre que a pressão abaixo da superfície cresce com a profundidade h na forma \Delta P=\rho g h, onde \rho é a densidade da água. Enquanto a bolha sobe, a pressão decresce e ela se expande. Se a bolha sobre lentamente (atrapalhada por um emaranhado de algas), o processo é isotérmico, mas se ela sobe rapidamente, o processo é adiabático. Suponha que f=6 para o gás \mathrm{CO}_{2} perto da temperatura ambiente ( 3 termos quadráticos translacionais, 2 rotacionais e um torsional ativos no cálculo da energia.)
Compare duas bolhas inicialmente idênticas \mathbf{A} e \mathbf{B} : \mathbf{A} sobe adiabaticamente, e \mathbf{B} sobe isotermicamente. Sejam P_{\text {fundo }} a pressão no fundo do lago e P_{0} (pressão atmosférica) a pressão na superfície do lago. Para cada uma das bolhas, \mathbf{A} e \mathbf{B}, deduza uma fórmula para a razão entre os volumes no topo e no fundo V_{\text {topo }} / V_{\text {fundo }}, e preveja qual das bolhas vai se expandir mais enquanto sobe.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Para cada bolha (A: sobe adiabaticamente; B: sobe isotermicamente), deduzir uma fórmula para a razão entre os volumes no topo e no fundo \dfrac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}, onde a pressão no fundo é P_{\text{fundo}} e a pressão na superfície é P_{0}.
  • Dizer qual das bolhas se expande mais durante a subida.
Informações relevantes fornecidas:
  • A pressão no fundo é P_{\text{fundo}} e na superfície é P_{0}.
  • A bolha no fundo está em equilíbrio com a água local, logo a pressão inicial do gás na bolha é P_{\text{fundo}}; no topo a pressão externa é P_{0}.
  • Para processos isotérmicos, a temperatura do gás é constante durante a expansão.
  • Para processos adiabáticos (reversíveis), não há troca de calor com o ambiente durante a expansão.
  • O gás \mathrm{CO}_2 tem f=6 graus de liberdade próximos à temperatura ambiente; isto será usado para calcular \gamma.
    Nada mais é fornecido numericamente (por exemplo, profundidade ou valores numéricos de pressões), então as deduções serão em forma algébrica em função de P_{\text{fundo}} e P_{0}.

Passo 2

Primeiro: lembrar e explicar a lei dos gases ideais e o caso isotérmico.
  • Lei dos gases ideais (forma útil aqui): PV = nRT, onde
    • P é a pressão do gás,
    • V é o volume,
    • n é a quantidade de matéria em mols,
    • R é a constante universal dos gases,
    • T é a temperatura absoluta.
Se o processo é isotérmico, a temperatura T é constante. Isso implica que o produto P V permanece constante durante a trajetória do gás (porque nR é constante também). Escrevendo isso entre o estado no fundo (subíndice fundo) e no topo (subíndice topo):
P_{\text{fundo}} V_{\text{fundo}} = P_{0} V_{\text{topo}}.
Isolando a razão pedida:
\frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}} = \frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}} \quad\text{(processo isotérmico).}é
Explicação em palavras simples: como T não muda, diminuir a pressão força um aumento proporcional do volume para manter PV constante.

Passo 3

Agora: entender adiabático e deduzir a relação entre P e V.
  • Primeiro princípio e idealização: para um processo adiabático reversível vale dQ=0. A primeira lei da termodinâmica diz dQ = dU + P\,dV. Como o gás é ideal, a energia interna depende só da temperatura:
    dU = n C_V\, dT,
    onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante.
  • Usar também a derivada da equação dos gases ideais:
    d(nRT) = d(PV) \quad\Rightarrow\quad nR\,dT = P\,dV + V\,dP.
  • Substituir dT em dU + P\,dV = 0. Detalhando:
    0 = dQ = dU + P\,dV = n C_V\, dT + P\,dV.
    Substituindo dT = \dfrac{P\,dV + V\,dP}{nR}:
    0 = n C_V \frac{P\,dV + V\,dP}{nR} + P\,dV.
    Simplificando n e rearranjando termos:
    \frac{C_V}{R} (P\,dV + V\,dP) + P\,dV = 0.
    Agrupando os termos em P\,dV:
    \left(\frac{C_V}{R} + 1\right) P\,dV + \frac{C_V}{R} V\,dP = 0.
    Mas \dfrac{C_V}{R} + 1 = \dfrac{C_V + R}{R} = \dfrac{C_P}{R}, pois C_P = C_V + R. Assim:
    \frac{C_P}{R} P\,dV + \frac{C_V}{R} V\,dP = 0.
    Dividindo ambos os lados por PV e multiplicando por R/C_V:
    \frac{C_P}{C_V} \frac{dV}{V} + \frac{dP}{P} = 0.
    Definindo \gamma \doteq \dfrac{C_P}{C_V}, obtemos
    \frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0.
    Integrando entre fundo e topo:
    \ln P + \gamma \ln V = \text{const} \quad\Rightarrow\quad \ln\big(P V^{\gamma}\big) = \text{const}.
    Logo a forma bem conhecida para um adiabático reversível de gás ideal é
    P V^{\gamma} = \text{const}.

Passo 4

Usar P V^{\gamma}= const para obter a razão de volumes e calcular \gamma a partir de f.
  • Da relação adiabática entre os estados no fundo e no topo:
    P_{\text{fundo}} V_{\text{fundo}}^{\gamma} = P_{0} V_{\text{topo}}^{\gamma}.
    Isolando a razão de volumes:
    \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}} = \left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{1/\gamma}.
  • Agora calcular \gamma em função dos graus de liberdade f. Para um gás ideal clássico:
    C_V = \frac{f}{2}R,\qquad C_P = C_V + R = \left(\frac{f}{2}+1\right)R.
    Portanto
    \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{\frac{f}{2}+1}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f}.
    Com f=6 temos
    \gamma = \frac{6+2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.
    Consequentemente 1/\gamma = \dfrac{3}{4}.
  • Substituindo no resultado adiabático:
    \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}\Big|_{\text{adiabático}} = \left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{3/4}.á

Passo 5

Comparação entre os dois fatores de expansão e interpretação física.
  • Isotérmico (B): \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}} = \frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}.
  • Adiabático (A): \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}} = \left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{1/\gamma} = \left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{3/4}.
Para qualquer razão de pressões \dfrac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}>1 (profundidade positiva), como 1 > 3/4 temos
\left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{1} > \left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{3/4},
logo a bolha isotérmica aumenta mais o volume do que a bolha adiabática.
Intuição física curta e amigável: na expansão isotérmica o gás recebe calor do entorno (ou perde/ganha energia de forma a manter T constante), permitindo que faça mais trabalho e atinja um volume maior. Na expansão adiabática a energia para fazer trabalho sai da energia interna do gás, o que reduz a temperatura e limita a expansão — por isso o volume final fica menor.
Um exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se P_{\text{fundo}}/P_{0}=2, então isotérmico dá fator 2 e adiabático dá 2^{3/4}\approx 1,68.

Resposta

\displaystyle \text{Bolha B (isotérmica):}\quad \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}=\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}.é\n \displaystyle \text{Bolha A (adiabática):}\quad \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}=\left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{1/\gamma}=\left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{3/4}á (para f=6, \gamma=4/3).\nA bolha isotérmica (B) se expande mais do que a adiabática (A).