Uma bolha de \mathrm{CO}_{2} se forma no fundo de um lago e sobe até a superfície. Relembre que a pressão abaixo da superfície cresce com a profundidade h na forma \Delta P=\rho g h, onde \rho é a densidade da água. Enquanto a bolha sobe, a pressão decresce e ela se expande. Se a bolha sobre lentamente (atrapalhada por um emaranhado de algas), o processo é isotérmico, mas se ela sobe rapidamente, o processo é adiabático. Suponha que f=6 para o gás \mathrm{CO}_{2} perto da temperatura ambiente ( 3 termos quadráticos translacionais, 2 rotacionais e um torsional ativos no cálculo da energia.)
Compare duas bolhas inicialmente idênticas \mathbf{A} e \mathbf{B} : \mathbf{A} sobe adiabaticamente, e \mathbf{B} sobe isotermicamente. Sejam P_{\text {fundo }} a pressão no fundo do lago e P_{0} (pressão atmosférica) a pressão na superfície do lago. Para cada uma das bolhas, \mathbf{A} e \mathbf{B}, deduza uma fórmula para a razão entre os volumes no topo e no fundo V_{\text {topo }} / V_{\text {fundo }}, e preveja qual das bolhas vai se expandir mais enquanto sobe.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Para cada bolha (A: sobe adiabaticamente; B: sobe isotermicamente), deduzir uma fórmula para a razão entre os volumes no topo e no fundo \dfrac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}, onde a pressão no fundo é P_{\text{fundo}} e a pressão na superfície é P_{0}.
Dizer qual das bolhas se expande mais durante a subida.
Informações relevantes fornecidas:
A pressão no fundo é P_{\text{fundo}} e na superfície é P_{0}.
A bolha no fundo está em equilíbrio com a água local, logo a pressão inicial do gás na bolha é P_{\text{fundo}}; no topo a pressão externa é P_{0}.
Para processos isotérmicos, a temperatura do gás é constante durante a expansão.
Para processos adiabáticos (reversíveis), não há troca de calor com o ambiente durante a expansão.
O gás \mathrm{CO}_2 tem f=6 graus de liberdade próximos à temperatura ambiente; isto será usado para calcular \gamma.
Nada mais é fornecido numericamente (por exemplo, profundidade ou valores numéricos de pressões), então as deduções serão em forma algébrica em função de P_{\text{fundo}} e P_{0}.
Passo 2
Primeiro: lembrar e explicar a lei dos gases ideais e o caso isotérmico.
Lei dos gases ideais (forma útil aqui): PV = nRT, onde
P é a pressão do gás,
V é o volume,
n é a quantidade de matéria em mols,
R é a constante universal dos gases,
T é a temperatura absoluta.
Se o processo é isotérmico, a temperatura T é constante. Isso implica que o produto P V permanece constante durante a trajetória do gás (porque nR é constante também). Escrevendo isso entre o estado no fundo (subíndice fundo) e no topo (subíndice topo):
Explicação em palavras simples: como T não muda, diminuir a pressão força um aumento proporcional do volume para manter PV constante.
Passo 3
Agora: entender adiabático e deduzir a relação entre P e V.
Primeiro princípio e idealização: para um processo adiabático reversível vale dQ=0. A primeira lei da termodinâmica diz dQ = dU + P\,dV. Como o gás é ideal, a energia interna depende só da temperatura:
dU = n C_V\, dT,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante.
Usar também a derivada da equação dos gases ideais:
logo a bolha isotérmica aumenta mais o volume do que a bolha adiabática.
Intuição física curta e amigável: na expansão isotérmica o gás recebe calor do entorno (ou perde/ganha energia de forma a manter T constante), permitindo que faça mais trabalho e atinja um volume maior. Na expansão adiabática a energia para fazer trabalho sai da energia interna do gás, o que reduz a temperatura e limita a expansão — por isso o volume final fica menor.
Um exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se P_{\text{fundo}}/P_{0}=2, então isotérmico dá fator 2 e adiabático dá 2^{3/4}\approx 1,68.
Resposta
\displaystyle \text{Bolha B (isotérmica):}\quad \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}=\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}.é\n\displaystyle \text{Bolha A (adiabática):}\quad \frac{V_{\text{topo}}}{V_{\text{fundo}}}=\left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{1/\gamma}=\left(\frac{P_{\text{fundo}}}{P_{0}}\right)^{3/4}á (para f=6, \gamma=4/3).\nA bolha isotérmica (B) se expande mais do que a adiabática (A).