Uma bolinha de gude sólida de massa
e raio
rola sem deslizar sobre o trilho da figura, tendo partido do repouso.
a) Qual a altura mínima
, para que ela não perca contato com o trilho na parte mais alta da curva?(Considere
) R:
b) Se a bolinha for solta de uma altura
, qual será a componente da força horizontal que atua sobre ela no ponto
? R:
a) Qual a altura mínima
b) Se a bolinha for solta de uma altura
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos uma bolinha de gude sólida com massa
e raio
que está rolando sem deslizar sobre um trilho. O exercício tem duas partes:
a) Queremos encontrar a altura mínima
de onde a bolinha deve partir para que ela não perca o contato com o trilho na parte mais alta da curva. Estamos considerando que
, onde
é o raio da curva.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia mecânica (cinética e potencial) e as condições para que a bolinha não perca contato com o trilho, ou seja, que a força normal seja zero no ponto mais alto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas. Quando a bolinha rola sem deslizar, a energia mecânica total é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética (que inclui tanto a translacional quanto a rotacional).
A energia potencial inicial quando a bolinha está na altura
é:
Quando a bolinha desce até a parte mais alta da curva, ela perde uma parte dessa energia potencial e a converte em energia cinética.
Passo 3
A energia cinética total da bolinha rolando sem deslizar é dada por:
onde:
-
é o momento de inércia da bolinha. -
é a velocidade angular.
Para uma bolinha sólida, o momento de inércia é:
E como ela rola sem deslizar, a relação entre a velocidade linear
e a angular
é:
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia cinética:
Passo 5
Segundo o princípio da conservação de energia, a energia potencial inicial será igual à energia cinética na parte mais alta da curva mais a energia potencial nessa nova altura. Porém, para simplificar, consideramos que na parte mais alta da curva a bolinha está na mesma altura
(raio da curva), então a perda de altura é
.
Portanto:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação cancelando
dos dois lados:
Queremos encontrar a condição para que a bolinha não perca contato com o trilho na parte mais alta. Isso ocorre quando a força normal
é zero. Na parte mais alta da curva, a força centrípeta necessária é fornecida apenas pela componente do peso, então:
Passo 7
Substituindo
na equação da energia:
Agora, cancelamos
dos dois lados:
Passo 8
Poxa, parece que chegamos a
, mas a resposta esperada é
. Vamos verificar onde pode ter ocorrido um erro. Na verdade, na conservação da energia, consideramos a altura inicial
e a altura final
(já que a bolinha está na parte mais alta da curva). Refazendo essa parte:
Substituindo
:
Resposta
A altura mínima
para que a bolinha não perca contato com o trilho na parte mais alta da curva é
.