Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre o trilho da figura, tendo partido do repouso.
a) Qual a altura mínima h, para que ela não perca contato com o trilho na parte mais alta da curva?(Considere r ll R ) R: h=2,7 R
b) Se a bolinha for solta de uma altura 6 R, qual será a componente da força horizontal que atua sobre ela no ponto P ? R: N=50 / 7 mg

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos uma bolinha de gude sólida com massa e raio que está rolando sem deslizar sobre um trilho. O exercício tem duas partes:
a) Queremos encontrar a altura mínima de onde a bolinha deve partir para que ela não perca o contato com o trilho na parte mais alta da curva. Estamos considerando que , onde é o raio da curva.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia mecânica (cinética e potencial) e as condições para que a bolinha não perca contato com o trilho, ou seja, que a força normal seja zero no ponto mais alto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as energias envolvidas. Quando a bolinha rola sem deslizar, a energia mecânica total é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética (que inclui tanto a translacional quanto a rotacional).
A energia potencial inicial quando a bolinha está na altura Ep = mgh é:
Quando a bolinha desce até a parte mais alta da curva, ela perde uma parte dessa energia potencial e a converte em energia cinética.

Passo 3

A energia cinética total da bolinha rolando sem deslizar é dada por:
Ek = 12mv^2 + 12Iomega^2
onde:
  • I = 25mr^2 é o momento de inércia da bolinha.
  • v = omega r é a velocidade angular.
Para uma bolinha sólida, o momento de inércia é:
E como ela rola sem deslizar, a relação entre a velocidade linear e a angular é:

Passo 4

Substituindo Ek = 12mv^2 + 12 ( 25mr^2 ) ( vr )^2 na expressão da energia cinética:
Ek = 12mv^2 + 15mv^2
Ek = 710mv^2

Passo 5

Segundo o princípio da conservação de energia, a energia potencial inicial será igual à energia cinética na parte mais alta da curva mais a energia potencial nessa nova altura. Porém, para simplificar, consideramos que na parte mais alta da curva a bolinha está na mesma altura mgh = 710mv^2 + mgR (raio da curva), então a perda de altura é .
Portanto:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação cancelando gh = 710v^2 + gR dos dois lados:
mg = mv^2R
Queremos encontrar a condição para que a bolinha não perca contato com o trilho na parte mais alta. Isso ocorre quando a força normal g = v^2R é zero. Na parte mais alta da curva, a força centrípeta necessária é fornecida apenas pela componente do peso, então:
v^2 = gR

Passo 7

Substituindo gh = 710gR + gR na equação da energia:
gh = 710gR + 1010gR
gh = 1710gR
h = 1710R
Agora, cancelamos h = 1,7R dos dois lados:

Passo 8

Poxa, parece que chegamos a mgh = 710mv^2 + mg(2R) , mas a resposta esperada é gh = 710v^2 + 2gR . Vamos verificar onde pode ter ocorrido um erro. Na verdade, na conservação da energia, consideramos a altura inicial gh = 710gR + 2gR e a altura final gh = 710gR + 2010gR (já que a bolinha está na parte mais alta da curva). Refazendo essa parte:
gh = 2710gR
h = 2710R
Substituindo h = 2,7R :

Resposta

A altura mínima para que a bolinha não perca contato com o trilho na parte mais alta da curva é .

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