Uma bomba em regime permanente conduz água de um lago, com uma vazão volumétrica de 0,83
através de um tubo com 12 cm de diâmetro de entrada. A água é distribuida através de uma mangueira acoplada a um bocal convergente. O bocal de saida possui 3 cm de diâmetro e está localizado a 10 m acima da entrada do tubo. A água entra a
e 1 atm e sai sem variações significativas com relação a temperatura ou pressão. A ordem de grandeza da taxa de transferência de calor da bomba para a vizinhança é de
da potência de entrada. A aceleração da gravidade é de
. Determine: (a) a velocidde da água na entrada e na saida, ambas
, e (b) a potência requerida pela bomba em Kw .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido:
Uma bomba está bombeando água de um lago com uma vazão de 0,83 m³/min através de um tubo de 12 cm de diâmetro na entrada. A água sai por um bocal de 3 cm de diâmetro, localizado 10 metros acima da entrada. Precisamos descobrir:
Uma bomba está bombeando água de um lago com uma vazão de 0,83 m³/min através de um tubo de 12 cm de diâmetro na entrada. A água sai por um bocal de 3 cm de diâmetro, localizado 10 metros acima da entrada. Precisamos descobrir:
(a) A velocidade da água na entrada e na saída (em m/s).
(b) A potência requerida pela bomba em kW.
Conteúdo da matéria:
Vamos usar conceitos de fluidos, especificamente a equação da continuidade para a velocidade da água e a energia hidráulica para calcular a potência da bomba.
Vamos usar conceitos de fluidos, especificamente a equação da continuidade para a velocidade da água e a energia hidráulica para calcular a potência da bomba.
O que vamos precisar:
- Converter unidades quando necessário.
- Usar a equação da continuidade.
- Aplicar a equação da energia para fluidos.
- Entender como a potência está relacionada à taxa de transferência de energia.
Passo 2
Convertendo a vazão volumétrica para m³/s:
A vazão dada é de 0,83 m³/min. Vamos converter para m³/s para facilitar os cálculos.
Passo 3
Calculando a área da seção transversal na entrada e na saída:
Usamos a fórmula da área de um círculo:
- Entrada: diâmetro = 12 cm = 0,12 m
- Saída: diâmetro = 3 cm = 0,03 m
Passo 4
Usando a equação da continuidade para encontrar as velocidades:
A equação da continuidade diz que a vazão é igual à área multiplicada pela velocidade:
- Velocidade na entrada:
- Velocidade na saída:
Passo 5
Calculando a energia necessária para elevar a água:
A energia necessária para elevar a água a uma altura
é dada por:
Onde:
-
é a densidade da água ( ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a altura (10 m) -
é a vazão volumétrica ( )
Passo 6
Considerando a taxa de transferência de calor da bomba para a vizinhança:
A questão menciona que 5% da potência de entrada é perdida como calor. Isso significa que a potência útil é 95% da potência total.
Sabemos que
, então:
Passo 7
Convertendo a potência para kW:
Resposta
(a) A velocidade da água na entrada é aproximadamente 1,22 m/s e na saída é aproximadamente 19,56 m/s.
(b) A potência requerida pela bomba é aproximadamente 1,42 kW.