Uma bomba em regime permanente conduz água de um lago, com uma vazão volumétrica de 0,83 m^3 / min através de um tubo com 12 cm de diâmetro de entrada. A água é distribuida através de uma mangueira acoplada a um bocal convergente. O bocal de saida possui 3 cm de diâmetro e está localizado a 10 m acima da entrada do tubo. A água entra a 20^circ C e 1 atm e sai sem variações significativas com relação a temperatura ou pressão. A ordem de grandeza da taxa de transferência de calor da bomba para a vizinhança é de 5 % da potência de entrada. A aceleração da gravidade é de 9,81 m / s^2. Determine: (a) a velocidde da água na entrada e na saida, ambas em m / s, e (b) a potência requerida pela bomba em Kw .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que vamos precisar para resolver.
Enunciado resumido:
Uma bomba está bombeando água de um lago com uma vazão de 0,83 m³/min através de um tubo de 12 cm de diâmetro na entrada. A água sai por um bocal de 3 cm de diâmetro, localizado 10 metros acima da entrada. Precisamos descobrir:
(a) A velocidade da água na entrada e na saída (em m/s).
(b) A potência requerida pela bomba em kW.
Conteúdo da matéria:
Vamos usar conceitos de fluidos, especificamente a equação da continuidade para a velocidade da água e a energia hidráulica para calcular a potência da bomba.
O que vamos precisar:
  • Converter unidades quando necessário.
  • Usar a equação da continuidade.
  • Aplicar a equação da energia para fluidos.
  • Entender como a potência está relacionada à taxa de transferência de energia.

Passo 2

Convertendo a vazão volumétrica para m³/s:
A vazão dada é de 0,83 m³/min. Vamos converter para m³/s para facilitar os cálculos.
0,83 , m^3min times 1 , min60 , s = 0,01383 , m^3s

Passo 3

Calculando a área da seção transversal na entrada e na saída:
Usamos a fórmula da área de um círculo:
A = pi times (d2)^2
  • Entrada: diâmetro = 12 cm = 0,12 m
Aentrada = pi times (0,122)^2 approx 0,0113 , m^2
  • Saída: diâmetro = 3 cm = 0,03 m
Asaída = pi times (0,032)^2 approx 0,000707 , m^2 í

Passo 4

Usando a equação da continuidade para encontrar as velocidades:
A equação da continuidade diz que a vazão é igual à área multiplicada pela velocidade:
Q = A times v
  • Velocidade na entrada:
ventrada = QAentrada = 0,013830,0113 approx 1,224 , m/s
  • Velocidade na saída:
vsaída = QAsaída = 0,013830,000707 approx 19,56 , m/s íí

Passo 5

Calculando a energia necessária para elevar a água:
A energia necessária para elevar a água a uma altura E = rho times g times h times Q é dada por:
E = 1000 times 9,81 times 10 times 0,01383 approx 1350 , W
Onde:
  • é a densidade da água ( )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura (10 m)
  • é a vazão volumétrica ( )

Passo 6

Considerando a taxa de transferência de calor da bomba para a vizinhança:
A questão menciona que 5% da potência de entrada é perdida como calor. Isso significa que a potência útil é 95% da potência total.
Pútil = 0,95 times Ptotal ú
Sabemos que 1350 = 0,95 times Ptotal implies Ptotal = 13500,95 approx 1421 , W ú, então:

Passo 7

Convertendo a potência para kW:
Ptotal approx 1421 , W div 1000 = 1,421 , kW

Resposta

(a) A velocidade da água na entrada é aproximadamente 1,22 m/s e na saída é aproximadamente 19,56 m/s.
(b) A potência requerida pela bomba é aproximadamente 1,42 kW.

Exercícios relacionados