Calcule a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 mol de metano gasoso de 260^circ C a 540^circ C, sabendo-se que sua capacidade calorífica molar pode ser representada em função da temperatura através da seguinte expressão:
Cp[cal /(mol K)]=3,381+1,8044 cdot 10^-2 T-4,30 cdot 10^-6 T^2, onde T deve ser dado em K .

Passo 1

Beleza! O exercício pede para calcular a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de 1 mol de metano ( CH4) gasoso de 260^circ C para 540^circ C. Vamos usar os conceitos de calorimetria e capacidade calorífica molar para resolver isso. Precisaremos integrar a capacidade calorífica fornecida em função da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que a fórmula da capacidade calorífica usa Kelvin. A conversão é feita adicionando 273,15.
T1 = 260^circ C + 273,15 = 533,15 , K
T2 = 540^circ C + 273,15 = 813,15 , K

Passo 3

A capacidade calorífica molar do metano é dada por:
Cp(T) = 3,381 + 1,8044 times 10^-2 , T - 4,30 times 10^-6 , T^2 , [cal/(mol cdot K)]

Passo 4

A quantidade de calor necessária ( Q) pode ser calculada pela integral da capacidade calorífica em relação à temperatura:
Q = n integralT1^T2 Cp(T) , dT
Como temos 1 mol de metano, n = 1 , mol.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Q = integral533,15^813,15 (3,381 + 1,8044 times 10^-2 , T - 4,30 times 10^-6 , T^2) dT
Integrando termo a termo:
Q = 3,381 cdot (T2 - T1) + 1,8044 times 10^-2 cdot (T2^2 - T1^2)2 - 4,30 times 10^-6 cdot (T2^3 - T1^3)3

Passo 6

Substituindo os valores das temperaturas:
Q = 3,381 cdot (813,15 - 533,15) + 1,8044 times 10^-2 cdot (813,15^2 - 533,15^2)2 - 4,30 times 10^-6 cdot (813,15^3 - 533,15^3)3
Calculando cada parte:
  1. Primeiro termo:
3,381 times 280 = 948,68 , cal
  1. Segundo termo:
1,8044 times 10^-2 times (813,15^2 - 533,15^2)2 approx 3.400 , cal
  1. Terceiro termo:
-4,30 times 10^-6 times (813,15^3 - 533,15^3)3 approx -554,02 , cal

Resposta

Somando todos os termos:
Q = 948,68 , cal + 3.400 , cal - 554,02 , cal approx 3.795 , cal
Portanto, a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 mol de metano gasoso de 260^circ C a 540^circ C é aproximadamente 3.795 calorias.

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